LGS, Lösungen bestimmen, Basis des Lösungsraumes, Dimension

Question

 

Ich habe folgendes LGS

2x₁+x₂-2x₃=0
4x₁+2x₂-4x₃+x₄=0
2x₁+x₂-2x₃-x₄=0
4x₁+2x₂-4x₃+3x₄=0

Aus Gleichung 1 und 3 erkenne ich, dass x₄=0 sein muss.

Dann wähle ich x₁, x₂ ∈ℝ, und berechne mir x₃=x₁+0,5x₂

damit hab ich die Lösung des LGS.

Nun soll ich zeigen, dass die Vektoren
a=(1,-2,0,0)^T und b=(1,0,1,0)^T

 

eine Basis des Lösungsraumes bilden. Reicht es dort wenn ich die Probe mache?
oder wie beweise ich das am besten?

Schlussendlich soll ich noch die Dimension des Lösungsraumes bestimmen.
die müsste doch dim()=2 sein? oder?
weil ich 2 variablen frei wählen kann?

Answer 1

Du hast als Lösung richtig:

X = [a, b, a + 0.5·b, 0] = [0, 0, 0, 0] + a·[1, 0, 1, 0] + 0.5·b·[0, 2, 1, 0]

Damit ist die Dimension 2, die du genannt hast, ebenso richtig.

[1, -2, 0, 0] = [1, 0, 1, 0] - [0, 2, 1, 0]

Der Vektor [1, -2, 0, 0] ist eine Linearkombination deiner Vektoren und unabhängig zu [1, 0, 1, 0] und damit sind die genannten Vektoren auch eine gültige Basis.