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Ich habe folgendes LGS

2x1+x2-2x3=0
4x1+2x2-4x3+x4=0
2x1+x2-2x3-x4=0
4x1+2x2-4x3+3x4=0



Aus Gleichung 1 und 3 erkenne ich, dass x4=0 sein muss.

Dann wähle ich x1, x2 ∈ℝ, und berechne mir x3=x1+0,5x2

damit hab ich die Lösung des LGS.

Nun soll ich zeigen, dass die Vektoren
a=(1,-2,0,0)T und b=(1,0,1,0)T

 

eine Basis des Lösungsraumes bilden. Reicht es dort wenn ich die Probe mache?
oder wie beweise ich das am besten?

Schlussendlich soll ich noch die Dimension des Lösungsraumes bestimmen.
die müsste doch dim()=2 sein? oder?
weil ich 2 variablen frei wählen kann?

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Du hast als Lösung richtig:

X = [a, b, a + 0.5·b, 0] = [0, 0, 0, 0] + a·[1, 0, 1, 0] + 0.5·b·[0, 2, 1, 0]

Damit ist die Dimension 2, die du genannt hast, ebenso richtig.

[1, -2, 0, 0] = [1, 0, 1, 0] - [0, 2, 1, 0]

Der Vektor [1, -2, 0, 0] ist eine Linearkombination deiner Vektoren und unabhängig zu [1, 0, 1, 0] und damit sind die genannten Vektoren auch eine gültige Basis.

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