Aloha :)
Bevor wir loslegen, überlegen wir uns folgende Abschätzung:$$0\le(x_i-x_k)^2=x_i^2-2x_ix_k+x_k^2\quad\Rightarrow\quad x_ix_k\le\frac{x_i^2+x_k^2}{2}$$Damit gehen wir nun in die Herleitung:
$$\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)^2=\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)\left(\sum\limits_{k=1}^nx_k\right)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^n x_ix_k\le\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^n\frac{x_i^2+x_k^2}{2}$$$$\phantom{\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)^2}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^n(x_i^2+x_k^2)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{k=1}^nx_i^2+\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)$$$$\phantom{\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)^2}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n\left(nx_i^2+\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)=\frac{1}{2}\left(\sum\limits_{i=1}^n nx_i^2+\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=1}^nx_k^2\right)$$$$\phantom{\left(\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)^2}=\frac{1}{2}\left(n\sum\limits_{i=1}^n x_i^2+n\sum\limits_{k=1}^n x_k^2\right)=n\sum\limits_{i=1}^n x_i^2$$Wir haben im Beweis die Voraussetzung \(x_i\ge0\) nicht benötigt. Das heißt, die Behauptung gilt sogar für \(x_i\in\mathbb{R}\).
