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Aufgabe 10.
Im In-Vektorraum \( F(\mathbb{R}) \) aller Funktionen von \( \mathbb{R} \) nach \( \mathbb{R} \) betrachten wir den von den Funktionen
\( s_{1}=(x \mapsto \sin (x)), s_{2}=(x \mapsto \sin (2 x)), s_{3}=(x \mapsto 2 \sin (x)) \)  \( V=\left\langle s_{1}, s_{2}, s_{3}\right\rangle\) erzeugten Teilraum.
Geben Sie einen zu \( V \) isomorphen \( W \) an, der nicht Teilraum von \( F(\mathbb{R}) \) ist.
(Ohne Beweis.)

Weiß jemand, wie das geht? Die Aufgabe gibt nur 2 Punkte, kann also eigentlich nicht so schwer sein, komme aber trotzdem nicht drauf...

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Hallo Mona,

{ s1 , s2 } ist linear unabhängig und  { s1 , s2 , s3 } linear abhängig 

→  { s1 , s2 } ist eine Basis von V  →  dim(V) = 2

Deshalb ist der reelle Vektorraum ℝ2 isomorph zu V

Nachtrag:

INFO:    

 https://users.fmi.uni-jena.de/~matveev/Lehre/LA09_10/vorlesung9.pdf

(Folie 4) 

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

Stimmt ja, zwei endlich-dimensionale Vektorräume über demselben Körper sind genau dann isomorph, ,wenn sie dieselbe Dimension besitzen. Danke für deine Hilfe!!!

Nur noch eine Frage: Wie beweist man formallogisch korrekt, dass s1, s2 und s3 linear abhängig sind?

Das erkennt man hier schon daran, dass s3  ein Vielfaches von s1 ist.

s3 = 2 · s1 + 0 · s2

  s3  lässt sich also als Linearkombination von  s1 und s2  darstellen.

  →   { s1 , s2 , s3 } ist linear abhängig

Dass s1 und s2 linear unabhängig sind, habe ich so gezeigt: Seien \(a,b \in K \) mit

\(a \cdot sin(x) + b \cdot sin(2x) = 0 \).

Dies muss für alle x gelten, also auch für x  = π/2. Wir setzen diesen Wert in die Gleichung ein ein und erhalten a = 0. Nun setzen wir noch π/4 in die neue Gleichung mit a = 0 ein, und erhalten b = 0.

"Das erkennt man hier schon daran, dass s3  ein Vielfaches von s1 ist.

s3 = 2 · s1 + 0 · s2"


Jau, stimmt, danke, sorry, hatte mich verguckt...

Angenommen, es wäre nicht auf den ersten Blick zu erkennen; dann bliebe einem doch eigentlich nur die Möglichkeit ein bisschen mit x herumzuspielen und auszuprobieren, ob es nicht eine nichttriviale Nulldarstellung gibt, oder?

.. und erhalten = 0.

du meinst "und erhalten b= 0"

Die Begründung ist richtig

Wenn du eine nichttriviale Nulldarstellung findest, hast du natürlich die lineare Abhängigkeit.

Wenn du keine findest, heißt das aber noch nicht, das es keine gibt.

Ja, das stimmt. - Angenommen, wir hätten nicht gesehen, dass s3 ein Vielfaches von s1 ist - wie hätten wir dann die lineare Abhängigkeit von s1, s2 und s3 nachweisen können?

Ah, und danke, dass du mich auf meinen Fehler hingewiesen hast, habe es korrigiert :)

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