Zu finden: Vektorraum V und α∈End(V), so dass α kein annullierendes Polynom besitzt

Question

Aufgabe:

Finden Sie einen K-Vektorraum V und einen Endomorphismus α von V, welcher kein annullierendes Polynom besitzt, d.h. für alle Polynome f∈K[X] mit f≠0 gelte f(α)≠0.

Problem/Ansatz:

Ich habe bisher schon einige Versuche gewagt einen solchen Endomorphismus zu finden, allerdings ohne Erfolg. Zu jedem habe ich nach relativ kurzer Zeit ein Polynom gefunden, so dass die Abbildungsmatrix zu α die Nullmatrix ausgibt.

Answer 1

Wegen des Satzes von Cayley und Hamilton muss \(\dim(V)=\infty\) sein.

Sei \(V=K^{(\mathbb{N})}\), also der \(K\)-Vektorraum aller Abbildungen

\(f:\mathbb{N}\rightarrow K\) mit endlichem Träger.

Für diesen Raum ist \((\delta_i)_{i\in\mathbb{N}}\) mit \(\delta_i(j)=\delta_{ij}\)

(Kronecker-Delta) eine Basis.

Wir betrachten \(\alpha\in End(V)\) mit \(\alpha(\delta_i)=\delta_{i+1}\;(i=0,1,\cdots) \)

Sei nun \(f=\sum_{i=0}^n c_iX^i \in K[X]\) mit \(f(\alpha)=0\).

Dann gilt insbesondere

\(0=f(\alpha)(\delta_0)=\sum_{i=0}^n c_i\alpha^i(\delta_0)=\sum_{i=0}^nc_i\delta_i\).

Da die \(\delta_i\) linear unabhängig sind, folgt \(c_0=c_1=\cdots =c_n=0\),

also \(f=0\).