R4->R3: Kern und Bild

Question

 f : R4 → R3 mit f(x) :=Ax

A=

1 4 7 10

2 5 8 11

3 6 9 12

Aufgabe: Bestimme Kern und Bild

Problem: Ich kann das lineare homogene Gleichungssystem nicht lösen.

Answer 1

Aloha :)

Bringe die Matrix durch elementare Spaltenumformungen auf Stufenform und führe dieselben Schritte an einer Einheitsmatrix aus, die genauso viele Spalten hat wie die Abbildungsmatrix.

$$\left(\begin{array}{c} & -4S_1 & -7S_1 & -10S_1\\1 & 4 & 7 & 10\\2 & 5 & 8 & 11\\3 & 6 & 9 & 12\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c} & & -2S_2 & -3S_2\\1 & 0 & 0 & 0\\2 & -3 & -6 & -9\\3 & -6 & -12 & -18\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & -4 & -7 & -10\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0\\2 & -3 & 0 & 0\\3 & -6 & 0 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & -4 & 1 & 2\\0 & 1 & -2 & -3\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Die Nicht-Nullspalten der ersten Matrix sind die Basis-Vektoren des Bildes. Die zu den Nullspalten korrespondierenden Spalten der ehemaligen Einheitsmatrix sind die Basis-Vektoren des Kerns:$$\text{Bild}(A)=\left(\,\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)\,\right)\quad;\quad\text{Kern}(A)=\left(\,\left(\begin{array}{c}1\\-2\\1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\-3\\0\\1\end{array}\right)\,\right)$$

Answer 2

Dann ziehen wir mal den Gauß durch

\(A_{Gauss} \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&-1&-2\\0&1&2&3\\0&0&0&0\\\end{array}\right)\)

A_Gauss = 0 ===> Kern

\(\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}x3 + 2 \; x4\\-2 \; x3 - 3 \; x4\\x3\\x4\\\end{array}\right)\)

kommst Du jetzt klar?