Bestimmen Sie den Abstand von P zu E

Question

Die Ebene \( E \subseteq \mathbb{R}^{3} \) und der Punkt \( P \in \mathbb{R}^{3} \) seien definiert durch
$$ E=\left\{\left(\begin{array}{l} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} | 2 x+y+2 z=15\right\}, \quad P=\left(\begin{array}{l} {3} \\ {7} \\ {4} \end{array}\right) $$
Bestimmen Sie den Abstand von \( P \) zu \( E \)

Answer 1

Mit Hessescher Normalenform

1. Normalenvektor bestimmen.

   Die Koeffizienten der Variablen in der Ebenengleichung ist Normalenvektor der Ebene, also

   \(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix} \).

2. Länge des Normalenvektors bestimmen.

   \(\left|\vec{n}\right| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = 3\).
   

3. Geradengleichung in Hessesche Normalenform überführen.

   \(\frac{1}{3}(2x+y+2z-15) = 0\)
   

4. Punkt auf der linken Seite einsetzen.

   \(\frac{1}{3}(2\cdot3+7+2\cdot 4-15) \).

   Das ist der Abstand von Punkt zur Ebene.
   

Mit Parameterform und Hilfsgerade

1. Parameterform der Ebene bestimmen

   \(2x+y+2z=15 \iff y = 15 - 2x - 2z\)

   also ist die Parameterform

   \(\vec{x} = \begin{pmatrix} x\\15-2x-2z\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\15\\0 \end{pmatrix} + x\cdot \begin{pmatrix} 1\\-2\\0 \end{pmatrix} + z\cdot \begin{pmatrix} 0\\-2\\1 \end{pmatrix} \)

2. Normalenvektor bestimmen, zum Beispiel mit dem Kreuzprodukt
\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 1\\-2\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\-2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\-1\\-2 \end{pmatrix} \)
3. Gerade durch Punkt in Richtung Normalenvektor aufstellen
\(\vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\7\\4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\-2 \end{pmatrix} \)
4. Parameterdarstellungen von Gerade und Ebene gleichsetzen
   \( \begin{pmatrix} 3\\7\\4 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\15\\0 \end{pmatrix} + x\cdot \begin{pmatrix} 1\\-2\\0 \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} 0\\-2\\1 \end{pmatrix} \)
5. Gleichung Lösen

   \(r=\frac{2}{3},x=\frac{5}{3}, y=\frac{8}{3}\)

6. Lösung in Gerade einsetzen

   \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\7\\4 \end{pmatrix} + \frac{2}{3} \cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\-2 \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 5\\19\\8 \end{pmatrix} \)

   Das ist der Orstvektor des Schnittpunktes von Gerade und Ebene

7. Abstand zwischen den beiden Punkten bestimmen

   \(d = \left|\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix} 5\\19\\8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3\\7\\4 \end{pmatrix} \right| = 2\)
   

Mit Parameterform und Analysis

1. Parameterform der Ebene aufstellen

   \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\15\\0 \end{pmatrix} + x\cdot \begin{pmatrix} 1\\-2\\0 \end{pmatrix} + z \cdot \begin{pmatrix} 0\\-2\\1 \end{pmatrix} \)

2. Funktion für Quadrat des Abstandes zwischen \(P\) und Punkt der Ebene aufstellen

   \(\begin{aligned} f(x,z) & =\left|\begin{pmatrix}0\\ 15\\ 0 \end{pmatrix}+x\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 0 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}0\\ -2\\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\ 7\\ 4 \end{pmatrix}\right|^2\\ & =5x^{2}+8xz+5z^{2}-38x-40z+89 \end{aligned}\)

3. Ableitungen berechnen

   \(\frac{\partial f(x,z)}{\partial x}=10x+8z-38\)
   \(\frac{\partial f(x,z)}{\partial z}=8x+10z-40\)

4. Ableitungen nullsetzen

   \(0=10x+8z-38\)
   \(0=8x+10z-40\)

5. Gleichungssystem lösen

   \(x = \frac{5}{3}, z=\frac{8}{3}\)

6. In Funktion für Abstandsquadrat einsetzen

   \(f\left(\frac{5}{3}, \frac{8}{3}\right) = 5\cdot\left(\frac{5}{3}\right)^{2}+8\cdot\frac{5}{3}\cdot\frac{8}{3}+5\cdot\left(\frac{8}{3}\right)^{2}-38\cdot\frac{5}{3}-40\cdot\frac{5}{3}+89 = 4\)

7. Wurzel ziehen

   \(\sqrt{f\left(\frac{5}{3}, \frac{8}{3}\right)} = \sqrt{4} = 2\)