Weshalb hat es hier keine senkrechte Asymptote

Question

Die Funktion lautet f(x)= (x^2-1)/(x-1) dann rechne ich x-1=0 also x=1. ich dachte dann hier ist die asymptote doch mein Lehrer sagt es gibt keine Asymptote und kommt danach noch auf lim f(x)=2? Ich habe keine Ahnung wie man darauf kommt? Wann gibt es eine senkrechte Asymptote und wann nicht? Ich dachte, es gibt eine wenn man die Funktion auf Null setzten kann. Und dass kann ich ja hier mit x-1=0?

Comments

Meine Antwort hatte die Fragestellerin offensichtlich überfordert.

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@Wolfgang

Mit " \underset{x\ne1}{=}" sieht es so aus:

$$f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)·(x+1)}{x-1} \underset{x\ne1}{=}  x+1$$

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Hallo Monty

danke für den Hinweis, hatte das übernommen, Habe die Antwort aber zurückgezogen, da die Fragestellerin 2 Stunden lang nicht darauf eingegangen war und ich keine Antworten mehr allein für das Archiv verfasse.

Answer 1

Es gibt zwei Arten von Definitionslücken: Polstellen und hebbare Lücken.

Wenn der Nenner 0 ist und der Zähler ungleich 0, liegt eine Polstelle vor.

Wenn aber Zähler und Nenner beide Null sind, wie hier bei x=1, kann eine Polstelle oder eine hebbare Lücke vorliegen. In diesem Fall ist es eine hebbare Lücke, da eine Gerade mit einem "Loch" vorliegt.

Comments

Vielen Dank für die Antwort jedoch habe ich noch ein paar Fragen und zwar: f(x)= (2)/(x-3) da hätte man ja oben 2=0 und unten x=3 also ist ja oben und unten keine null keine null zu finden weshalb ist es hier also nicht definiert.

Das gleiche verstehe ich auch nicht bei dieser Aufgabe. Wenn ich also (x+1)(x-1)/(x+1) rechne habe ich ja oben noch x=1 das ist ja auch nicht null im zähler und dennoch ist es undefiniert.

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In diesem Fall ist es eine hebbare Lücke, da eine Gerade mit einem "Loch" vorliegt.

Fällt das in deiner Antwort nicht einfach "vom Himmel" ?

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@Wolfgang:

Meine Antwort hatte ich als Ergänzung zu den bereits vorhandenen angesehen. Georg und du hatten die Umformungen des Funktionsterms ja schon erläutert.

Ich sehe gerade, dass du deine Antwort, die mir am besten gefallen hat, gelöscht hast. Warum, verstehe ich nicht.

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@Anna:

f(x)= (2)/(x-3) da hätte man ja oben 2=0 und unten x=3 also ist ja oben und unten keine null keine null zu finden weshalb ist es hier also nicht definiert.

\(2\ne 0\), also ist der Zähler nicht Null, egal welchen Wert x annimmt..

\(x-3=0 \Rightarrow x=3\)

Also ist der Nenner für x=3 gleich Null.

Zähler ungleich Null, Nenner Null → Polstelle

... bei dieser Aufgabe. Wenn ich also (x+1)(x-1)/(x+1) rechne habe ich ja oben noch x=1 das ist ja auch nicht null im zähler und dennoch ist es undefiniert.

Bei der ursprünglichen Aufgabe steht (x-1) im Nenner, hier schreibst du (x+1).

Ich gehe jetzt von \(\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)}\) aus.

x=1 darfst du hier nicht einsetzen, da dann durch 0 geteilt würde. Das gilt auch für den umgeformten Funktionsterm.

Als nächstes siehst du hoffentlich, dass sowohl im Zähler als auch im Nenner (x-1) vorkommt. Deshalb dürfen wir durch (x-1) kürzen und erhalten f(x)=x+1, dürfen hier aber auch nicht x=1 einsetzen.

f(x)=x+1 ist hier die Gleichung einer Geraden, die bei x=1 ein "Loch" aufweist.

Da wir aber bei einer Geradengleichung jeden x-Wert einsetzen dürfen, könnten wir das Loch durch den Punkt (1|2) schließen.

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@Monty

.. als Ergänzung zu den bereits vorhandenen angesehen

Dann sollte man das in der Antwort als "Ergänzung" kennzeichnen.

... dass du deine Antwort ,,, gelöscht hast. Warum, verstehe ich nicht.

warum sollte ich meinen und den Ruf des Forums schädigen, indem ich eine Antwort stehenlasse, die offenbar so schlecht zu sein scheint, dass sie - im Gegensatz zu (zum Teil wesentlich später eingestellten) anderen Antworten - keinerlei Reaktion erfahren hat :-)

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@Wolfgang

Ich denke, dass Anna nicht reagiert, weil sie komplett mit Mathe überfordert ist. Und so schlecht war deine Lösung auch nicht. :-)

Answer 2

Hallo

kannst du das selbst erklären, wenn du daran denkst dass x^2-1=(x+1)*(x-1)

 was hast du dann für Funktionswerte für x sehr nahe an 1?

Gruß lul

Answer 3

Nicht
Ich dachte, es gibt eine wenn man die Funktion auf Null setzen kann.
sondern : der Nenner ist null. Division durch null ist nicht
erlaubt
Dann auch nicht immer
x^2 - 1 = ( x + 1 ) * ( x -1 )

lim x -> 1 [ (( x + 1 ) * ( x -1 )) / ( x -1 ) ]
Da doch Nenner noch nicht ganz null ist darf
gekürzt werden
lim x -> 1 [( x +1 )] = 2

Die Stelle nennt sich " hebbare Lücke " und ist
keine Polstelle ( senkrechte Asymptote )

Comments

sorry, ich habe es noch nicht ganz begriffen. Wann ist der Nenner null?

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(( x + 1 ) * ( x -1 )) / ( x -1 )
Der Nenner ist null bei x = 1
( x -1 )
x = 1
( 1 - 1 ) = 0

Bei
lim x -> 1 [ x - 1 ] ist noch nicht null sondern
einen Tick davor. Es darf noch gekürzt
werden.