Gleichungssystem lokal mit Satz von der impliziten Funktion lösen?

Question

Gegeben ist:$$\begin{cases}3\exp (x^2)+\ln (y^2+1)+y^2\sin(v)+y=3 \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \, \, \, \, \, 2xy+\sin(y)+\exp(v)=1\end{cases}$$ für $z=(x,y,v)\in \mathbb{R}^3$ mit der speziellen Lösung $z_0=(0,0,0)\in \mathbb{R}^3$.

Ich muss nun zeigen, dass es ein $\varepsilon >0$ und eine $C^1$-Kurve $g: (-\varepsilon, \varepsilon)\to \mathbb{R}^2$ mit $g(0)=(0,0)$, so dass $(t, g_1(t), g_2(t))$ für alle $t\in (-\varepsilon , \varepsilon)$ das Gleichungssystem löst.

Dafür setze ich $F\in C^1(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^2)$, $F(x,y,v)=\begin{pmatrix} 3\exp (x^2)+\ln (y^2+1)+y^2\sin(v)+y-3\\2xy+\sin(y)+\exp(v) -1\end{pmatrix}$. Dann ist $F(z_0)=(0,0)$. Nach welchem Variablenpaar liefert der Satz über implizite Funktion eine lokale Auflösung vom GS bei $z_0$ als Funktion vom anderen Variablenpaar?

Ich habe einfach mal die Determinante der Jacobi-Matrix für die jeweiligen Paare berechnet und herausgefunden, dass nur die Determinante der Jacobi-Matrix bzgl. $(y,v)$ nicht null und damit regulär (d. h. invertierbar) ist.

Answer 1

Damit solche Kurve $g$ existiert, sollte nach der Variable $w=(y,v)$ aufgelöst werden, d.h. ist $\partial_w F|(0,0)$ invertierbar, dann exitieren Umgebungen U um Punkt 0 in R und  V um Punkt (0,0) in $R\times R$, und eine diffbare  Fuktion $h:U \to V$ mit $F(x,h(x))=0$. Es bleibt dann nur die Funktion h so einzuschränken sodass die verlangte Form der g erhält.

Comments

Das ist mir auch klar, aber woher weiß ich, dass es nicht $(x,y)$ ist?

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woher weiß ich, dass es nicht (x,y) ist?

Wird ja gesagt, dass $(t,g_1(t),g_2(t))$ GLS lösen soll, oder unbennant $(x,g_1(x),g_2(x) )=(x,g(x))$.

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Achso! Vielen Dank.

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