Extremwertproblem - Optimierungsaufgabe Pyramide mit maximalem Volumen, ausgeschnitten aus Kreis (r=9 cm)

Question

Aufgabe:

Aus einem Kreis mit dem Radius 9 cm soll das Netz einer quadratischen Pyramide mit möglichst großem Volumen ausgeschnitten werden.

Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide (und Höhe).

Answer 1

Die Aufgabe ist zu schön, um sie durch eine Antwort zu verderben.

Eine Skizze gebe ich dir aber gern.

Comments

hilft mir leider auch nicht weiter.

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Nutze die eingezeichnete Länge x in Verbindung mit der sich daraus ergebenden Länge 9-x, um mit dem Pythagoras die Höhe der Pyramide in Abhängigkeit von x auszudrücken.

Nutze x außerden, um die Grundfläche in Abhängigkeit von x auszudrücken.

Damit bekommst du eine ebenfalls nur noch von x abhängige Volumenformel.

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Kontrollösung: Ich habe das Volumenmaximum bei x = 3,6 cm.

Answer 2

Mit der vom Benutzer "abakus" gegebenen Skizze, der Volumenformel für eine Pyramide und dem Gesetz des berühmten Influencers Pythagoras kommt man für das Volumen der Pyramide auf

$V= \frac{1}{3}$ $(2x)^{2}$ $\sqrt{(9-x)^{2}-x^{2}}$

und das gibt ausgerechnet

$= \frac{4}{3} x^{2}$ $\sqrt{81 - 18x} = \sqrt{\frac{16}{9} x^{4} (81-18x)} = \sqrt{144x^{4}-32x^{5}}$

Um davon das Maximum zu finden, kann man die Wurzel und den Faktor 16 weglassen, weil monoton wachsend. Man maximiert also $9x^{4}-2x^{5}$ bzw. setzt die erste Ableitung $36x^{3}-10x^{4}$ gleich Null, woraus sich ergibt $x= \frac{36}{10}$