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Es wäre nett, wenn ihr mir eine Vergleichsergebnis nennen könntet:

Aus einem quadratischen Stück Karton mit der Kantenlänge a soll das Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche so ausgeschnitten werden, dass das Volumen der Pyramide maximal wird.

Gerechnet werden kann mit a = 100 cm oder allgemein mit der Kantenlänge a.
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Die einzig sinnvolle Lösung ist wohl die, die Grundfläche der Pyramide konzentrisch zur Fläche der Pappe anzuordnen, aber um 45° zu drehen.

Wählt man nun als Länge der Seite der Grundfläche x, dann gilt für die Höhe der Seitenfläche:

2h + x = √2 * a

h = a/√2 - x/2

 

Um das Volumen der Pyramide auszurechnen, braucht man aber die räumliche Höhe H, die erhält man nach dem Satz des Pythagoras:
h² = H²+x²/4

H² = h² - x²/4

H² = a²/2 - ax/√2 + x²/4 - x²/4 = a²/2 - ax/√2

H = √(a²/2 - ax/√2)


Das Volumen ist also:
V = 1/3*x²*H = 1/3*x²*√(a²/2 - ax/√2)

 

Dieses Volumen soll maximal sein, also benötigt man die Ableitung:
 

Die Nullstelle in x liegt bei:
x = 2√2 a/5

Damit beträgt das Volumen:

 

Alternativ kann man noch probieren, die Grundfläche parallel zur Außenfläche reinzulegen.

Dann bekommt man für die Höhe der Seitenflächen:
2h + x = a

h = a/2 - x/2

Mit dem gleichen H² = h² - x²/4

erhält man also

H² = a²/4 - ax/4

H = √(a²/4 - ax/4)

Fürs Volumen also
V = 1/3 x² √(a²/4 - ax/4)

Mit der relevanten Nullstelle bei x = 4/5 a

und dem Extremalvolumen:

V = 8/(75 √5) * a³

 

Ich hatte es nicht erwartet, aber das zweite Volumen ist größer. Naja, so kann man sich täuschen :-)

Beantwortet von 10 k

Du schreibst gleich zu Anfang:

 

2h + x = √2 * a
h = a/√2 - x/2

sollte es nicht 

h = a*√2 - x/2

lauten ? Vielleicht liegt es daran dass dein erstes Volumen kleiner ist.

 

Nee, das ist schon richtig, denke ich.

Denn √(2)/2 = √(2)/(√(2)*√(2)) = 1/√(2)

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