Bestimmen Sie eine Untergruppe von GL2(R), die isomorph zu Z/4Z ist.

Question

(a) Zeigen Sie, dass \( \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} \) isomorph zur Untergruppe \( \{1,-1, i,-i\} \) von \( \mathbb{C}^{*} \) ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Gruppe \( \left(\mathbb{C}^{*}, \cdot\right) \) isomorph zu folgender Untergruppe von \( \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}) \) ist:
$$ U:=\left\{\left(\begin{array}{cc} {a} & {-b} \\ {b} & {a} \end{array}\right) \in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}) | a, b \in \mathbb{R},(a, b) \neq(0,0)\right\} $$
(c) Bestimmen Sie eine Untergruppe von \( \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}), \) die isomorph zu \( \mathbb{Z} / 4 \mathbb{Z} \) ist.

Wenn ihr bei b) und c) helfen könntet wäre ich sehr Dankbar.

Comments

Möglicherweise klappt's bei (c) mit der Gruppe$$\left\lbrace\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\right\rbrace$$

Answer 1

zu b) Betrachte die Abbildung

$$f :   \mathbb{C}^{*}  \rightarrow  U  \text{     mit }$$

$$     f( a+bi) := (\begin{array}{cc} {a} & {-b} \\ {b} & {a} \end{array}) $$

Das ist ein Isomorphismus zwischen den beiden Gruppen.