Ableitungen, Extrema und Wendepunkte bestimmen

Question

f(x)= 4+5e^-2x - 4e^-0,5x

Problem/Ansatz:

Ich muss die 1.-3. Ableitung bilden und Extrema und Wendepunkte bestimmen.

Comments

Hallo,

vielleicht hilft dir das weiter:

$$f(x) = e^{kx}\\f'(x)=k\cdot e^{kx}$$

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Nein leider nicht. Kann jemand für mich das lösen und kürt erklären wie man vorangeht

Answer 1

Hallo,

y' = 2 e^(-0.5x) -10e^(-2x)

y'' =20 e^(-2x) -e^(-0.5x)

y''' =0.5 e^(-0.5x) -40e^(-2x)

Extremstellen:

\( y^{\prime}=0=2 e^{-0,5 x}-10 e^{-2 x} |+10 e^{-2 x} \)

\( 10 e^{-2 x}=2 e^{-0,5 x} \quad |: 2 \)
\( 5 e^{-2 x}=e^{-0.5 x} \quad | * e^{0.5 x} \)
\( \frac{5 e^{0,5 x}}{e^{2 x}}=1 \)
\( 5 e^{-1,5 x}=1 \quad |: 5 \)
\( e^{-1,5 x}=\frac{1}{5} \quad | \ln (...) \)
\( -1,5 x=\ln (1)-\ln (5) \)
\( \ln (1)=0 \)
\( -1,5 x=-\ln (5) \)
\( \begin{aligned} x &=\frac{-\ln (5)}{-1,5}=\frac{2}{3} \cdot \ln (5) \\ & x \approx 1,07296 \end{aligned} \)

Extreme Points of \( 4+5 e^{-2 x}-4 e^{-\frac{x}{2}}: \quad \) Minimum \( \left(\frac{2 \ln (5)}{3},-\frac{15}{e^{\frac{4 \ln (5)}{3}}}+4\right) \)

y'' (1.07296) > 0 ->Minimum

Minima/Maxima:

notwendiges Kriterium: \( \quad f^{\prime}\left(x_{E}\right)=0 \)
hinreichendes Kriterium (Minima): \( \quad f^{\prime}\left(x_{E}\right)=0 \wedge f^{\prime \prime}\left(x_{E}\right)>0 \) hinreichendes Kriterium (Maxima): \( f^{\prime}\left(x_{E}\right)=0 \wedge f^{\prime \prime}\left(x_{E}\right)<0 \)

Wendestellen:

notwendiges Kriterium: \( \quad f^{\prime \prime}\left(x_{E}\right)=0 \)
hinreichendes Kriterium: \( \quad f^{\prime \prime}\left(x_{E}\right)=0 \wedge f^{\prime \prime \prime}\left(x_{E}\right) \neq 0 \)

Answer 2

$$f(x)= 4+5e^{-2x} - 4e^{-0,5x}~~~~~~~\text{rot}$$

$$f'(x)= -10e^{-2x} +2e^{-0,5x}~~~~~~~\text{blau}$$

$$f''(x)= 20e^{-2x} -e^{-0,5x}~~~~~~~\text{grün}$$

$$f'''(x)= -40e^{-2x} +0,5e^{-0,5x}$$

Extrema: Notwendige Bedingung \(f'(x_E)=0\)

$$0= -10e^{-2x_E} +2e^{-0,5x_E}$$

$$10e^{-2x_E} = 2e^{-0,5x_E}~~~~~|\ln$$

$$\ln(10)-2x_E=\ln(2)-0,5x_E~~~~~|+2x-\ln(2)$$

$$\ln(10)-\ln(2)=1,5x_E~~~~~| \cdot\frac{2}{3}$$

$$ x_E=\frac{2}{3}\cdot(\ln(10)-\ln(2)) \approx 1.07295860829$$

\(x_E\) in \(f(x)\) einsetzen liefert \(y_E\).

\(x_E\) in \(f''(x)\) einsetzen liefert Kriterium für Minimum oder Maximum.

Wendepunkte mit f''(x) entsprechend, mit f'''(x) überprüfen.