Kreuzprodukt widerspricht Skalarprodukt

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie einen Punkt C so dass Vektor AB und Vektor AC orthogonal zueinander sind.

A(2| -1 | 1) und B(0|2|-3)

Ich habe das Kreuzprodukt gebildet so:

(-1)*(-3) - 1*2

1*0 - 2*(-3)

2*2 - (-1)*0

Es entsteht der Vektor c = (1|6|4)

aber wenn ich dann AC und AB ausrechne mit dem vektor C, und die dann multipliziere, ist das skalarprodukt = 11. wo ist der fehler?

Comments

Bestimmen Sie einen Punkt C so dass Vektor AB und Vektor AC orthogonal zueinander sind.

Ist das die vollständige Fragestellung? C kann jeder Punkt einer ganzen Ebene in R³ sein.

Answer 1

Bestimmen Sie einen Punkt C so dass Vektor AB und Vektor AC orthogonal zueinander sind.

A(2| -1 | 1) und B(0|2|-3)

$$\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} 0-2\\2-(-1)\\-3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\3\\-4 \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{OC}- \overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix} x-2\\y-(-1)\\z-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-2\\y+1\\z-1 \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} -2\\3\\-4 \end{pmatrix} \circ\begin{pmatrix} x-2\\y+1\\z-1 \end{pmatrix} = -2(x-2)+3(y+1)-4(z-1) =-2x+3y-4z+11=0$$

Zwei Zahlen sinnvoll wählen:

$$x=0; y=-1 \Rightarrow z=2 ~~\Rightarrow C(0|-1|2)$$

Probe:

$$\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} 0-2\\-1-(-1)\\2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix}$$

$$\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} -2\\3\\-4 \end{pmatrix} \circ\begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix} =4+0-4=0$$

Alternative Lösung:

Der Punkt C liegt in der Ebene E mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{AB}$. Die Punkt-Normalenform der Ebene liefert die gesuchte Gleichung.

$E:~~~\begin{pmatrix} -2\\3\\ -4 \end{pmatrix} \circ\vec x=\begin{pmatrix} -2\\3\\ -4 \end{pmatrix} \circ\begin{pmatrix} 2\\-1\\ 1 \end{pmatrix} = -11$ bzw. $-2x+2y-4z=-11$ erfüllen.

Comments

könntest du mir erklären, wie du auf z=2 gekommen bist und warum man nur 2 zahlen aussuchen darf?

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Du hast eine Gleichung mit drei Variablen, kannst aber nur eine berechnen.

Deshalb wählt man zwei aus und hofft, dass alles klappt.

Geometrisch anschaulich ist es ja so, dass C in einer Ebene durch A liegt, sodass es unendlich viele Lösungen gibt. Der Vektor AB ist ein Normalenvektor der Ebene.

Nun zur Gleichung:

−2x+3y−4z+11=0

oder 2x+4z=11+3y

2x+4y ist gerade, wenn x und y ganze Zahlen sind. Damit 11+3y auch gerade sind, muss y ungerade sein.

Wenn ich jetzt y=-1 wähle, wird 11+3y=11-3=8.

Damit die linke Seite auch stimmt, kann man x=0 und z=2 wählen.

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versteh ich nicht hast du noch eine einfachere erklärung im peto? :(

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Welchen Schritt verstehst du denn nicht?

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"2x+4y ist gerade, wenn x und y ganze Zahlen sind. Damit 11+3y auch gerade sind, muss y ungerade sein." ist das immer so also kann ich das immer mit ungerade und gerade beachten oder wann gilt das? gibt es da so eine faustregel

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Im Prinzip kannst du x und y beliebig wählen und z ausrechnen.

Das mit "gerade" und "ungerade" habe ich nur geschrieben, um dir zu erklären, wie ich ganzzahlige Lösungen bestimmt habe.

−2x+3y−4z+11=0 nach z umformen ergibt

z=-0,5x+0,75y-2,75

Wähle zwei Werte für x und y und rechne z aus.

x=0; y=0 → z=-2,75

x=0; y=1 → z=--2

x=0; y=2 → z=-1,25

usw.

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Bei dir steht -2,75 aber es ist doch +2,75 oder nicht?

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z=-0,5x+0,75y+2,75

x=0; y=0 → z=2,75

x=0; y=1 → z=3,5

x=0; y=2 → z=4,25

So müsste es richtig sein.

(Da war ich wohl schon etwas müde. Gut, dass du aufgepasst hast!)

Answer 2

Falls OC orthogonal sowohl zu OA als auch zu OB sein soll:

so ist c ist korrekt.

Du hast dich also mit dem Skalarprodukt verrechnet.

a * c = 2*1 + (-1)*6 + 1*4 =2 -6 + 4 = -4 + 4 = 0

Analog dazu ist b * c auch gleich null.

Lösung zur eigentlichen Aufgabe siehe Kommentar.

Comments

Erstmal danke für deine Antwort. Meine Frage: Es geht in der Aufgabe aber darum, dass die Vektoren AB und AC orthogonal zueinander sind. Du hast ja aber die Vektoren A und B mit C multipliziert. Wenn ich aber Vektor AB bilde: (-2 | 3 | -4) und Vektor AC: (-1 | 7 | 3), und die miteinander multipliziere, kommt ein Skalarprodukt von 11 raus. Fehler?

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Nochmal deutlich!

Es ist der Ortsvektor von C gesucht sodass AC senkrecht zu AB ist und nicht das OC senkrecht zu OA und zu OB ist!

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Die Aufgabe zu lesen hilft (sorry)

Also AB ist (-2|3|-4) und AC ist allg. (x-2|y+1|z-1) mit C = (x|y|z).

Damit beide Verbindungsvektoren AB, AC orthogonal zueinander sind, muss das Skalarprodukt von ihnen null sein.

Sprich AB * AC = 0 ⇔ -2*(x-2) + 3*(y+1) - 4*(z-1) = 0  ⇒ z = -x/2 + 3y/4 + 11/4

Wählt man bspw. x = 1, y = 0, so erhält man z = 9/4.

Also wäre C = (1|0|9/4) ein möglicher Punkt.

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Wie würde das mit Kreuzprodukt aussehen?

Answer 3

A(2| -1 | 1) und B(0|2|-3)

AB = [-2, 3, -4]

AB * AC = 0

[-2, 3, -4] * [3, 2, 0] = 0

C = A + AC = [2, -1, 1] + [3, 2, 0] = [5, 1, 1]

Comments

Ist meine Rechnung falsch?

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Ja. Du nimmst das Kreuzprodukt zweier Ortsvektoren. Damit bekommst du einen Anderen Ortsvektor, der Senkrecht zu den beiden multiplizierten Ortsvektoren ist, aber keinen der Senkrecht zu dem gewunschten Richtungsvektor ist.

AC soll ja orthogonal zu AB sein. Wenn du also AC über das Kreuzprodukt heraus bekommen willst muss ein Vektor der Richtungsvektor AB sein zu dem AC senkrecht sein soll.

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Okay und wie würde so eine Rechnung korrekt mit Kreuzprodukt ansehen? Also nur der Ansatz? :(

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AC = AB x [0, 0, 1]

C = A + AC

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Versteh ich leider nicht :( sorry

woher  [0, 0, 1]

und inwiefern bringt mich C = A + AC weiter wenn ich C nicht habe? ich möchte kein LGS benutzen :I

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Du kannst auch jeden beliebigen anderen Vektor außer statt [0, 0, 1] benutzen. Er darf nur nicht linear abhängig zu AB sein.

[0, 0, 1] ist mit der einfachste und ich denke du solltest es nicht zu schwer haben.

C = A + AC

Den Ortsvektor von C erhältst du indem Du dann zum Ortsvektor von A den Richtungsvektor AC addierst.

Fang doch mal an zu rechnen.

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ich versteh es nicht bitte wie rechnet man das kannst du es mal vorrechnen :(

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Das Kreuzprodukt ist senkrecht zu BEIDEN beteiligten Vektoren.

Dass es auch senkrecht zum von mathecoach verwendeten Vektor [0, 0, 1] steht ist im Aufgabenzusammenhang ziemlich unwichtig.

Dieses Kreuzprodukt ist aber eben auch - wie gefordert - senkrecht zu AB.

kannst du es mal vorrechnen :(

Warum sollte das jemand tun?

Kannst du den Vektor AB berechenen? Ja? Dann tu es.

Kannst du das Vektorprodukt aus AB und  [0, 0, 1] bilden? Dann tu es.

Kannst du zum erhaltenen Ergebnis den Ortsvektor von A addieren? ...

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also ich hab das jetzt so gemacht:

Sprich AB * AC = 0 ⇔ -2*(x-2) + 3*(y+1) - 4*(z-1) = 0

kann ich jetzt für x,y,z einfach beliebig zahlen einsetzen und fertig?

und wofür addieren: C = A + AC ??

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und wofür addieren: C = A + AC

Weil du den Punkt C bzw. Ortsvektor C bestimmen sollst und nicht den Richtungsvektor AC.

Und willst du jetzt das Skalarprodukt oder das Kreuzprodukt nehmen? Mit dem Skalarprodukt habe ich das oben vorgemacht.

Man man man

Senkrecht zu [x, y, z] ist z.B. einfach [y, -x, 0] ; [z, 0, -x] ; [0, z, -y]. Warum das so ist darfst du einfach mal begründen.

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tut mir leid für die umstände, ich bin durcheinander gekommen. kann ich das so wie der user unten gerechnet hat machen? das sieht plausibel aus. und ich versteh nicht was du meinst :/

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Kannst du gerne so machen obwohl ich das umständlicher finde. Aber wichtig ist ja das du es verstehst und nachvollziehen kannst.

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könntest du mir bitte erklären wie der user unten auf z=2 gekommen ist? danke

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Der Antwortgeber suchte ein beliebiges Tripel, für das −2x+3y−4z+11=0 gilt.

Das geht z.B.

mit x=0, y=0, z=2,75 oder

mit x=0, y=5, z=1 oder

mit x=11, y=1, z=-2 oder

mit x=7, y=3, z=1,5 oder ...

Da er nicht unendlich viele Möglichkeiten, sondern nur eine einzige benötigt, hat er sich für x und y eine Zahl "ausgedacht" und mit diesen beiden Zahlen z so passend ausgerechnet, dass am Ende tatsächlich 0 herauskommt.

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Vielen Dank :)