Sei V ein C-Vektorraum, Einschränkung der Skalarmultiplikation → V Vektorraum über R → dimR(V)=2 dimC(V)

Question

Sei V ein C-Vektorraum. Dann kann man durch Einschränkung der Skalarmultiplikation V auch als Vektorraum über R auffassen. Wir nehmen an, dass V als C-Vektorraum endliche Dimension dimC(V ) besitzt. Zeigen Sie: V ist dann auch ein endlichdimensionaler R-Vektorraum der Dimension dimR(V ) = 2  dimC(V ):

Hilfestellung:

Sei v1; v2; : : : ; vn eine C-Basis von V . Finden Sie eine R-Basis von V aus doppelt so
vielen Vektoren (und zeigen Sie, dass diese wirklich eine R-Basis ist).

Comments

Versuche es mal mit der Basis

v1, i*v1, v2, i*v2, …, vn, i*vn

Jede Zahl z in C lässt sich (bekanntlich) als x + iy eindeutig in einen Real- und Imaginärteil aufteilen.