Zu e senkrechte Komponente von a

Question

Servus!
Wir haben Probleme bei einer Klausuraufgabe:

Wie berechnet man die zu e senkrechte Komponente von a?
$\square\;\vec{a}_{\perp}=\vec{a}\cdot\left(\vec{e}\cdot\vec{e}\right)-\vec{e}\cdot\left(\vec{a}\cdot\vec{e}\right)$
$\square\; \vec{a}_{\perp}=\vec{a} \times \vec{e} \times \vec{e}$
$\square \;\vec{a}_{1}=\vec{a} \cdot \vec{e} \cdot \vec{e}$
$\square\;\vec{a}_{\perp}=\vec{e} \times(\vec{a} \times \vec{e})$

Mittels orthogonale Projektion kommt man ja auf $\vec{a}_{e}$, welcher senkrecht zu $\vec{a}_{\perp}$ steht. Kann man damit irgendwie weiter rechnen? irgend eine Idee?

Answer 1

Aloha :)

$\vec e$ ist offenbar ein Einheitsvektor, sonst wären die Formeln alle falsch.$$a_{\parallel}=\vec e(\vec a\cdot \vec e)$$$$\vec a_\perp=\vec a-\vec a_\parallel=\vec a-\vec e(\vec a\cdot \vec e)=\vec a\underbrace{(\vec e\cdot\vec e)}_{=1}-\vec e(\vec a\cdot \vec e)$$$$\vec e\times(\vec a\times\vec e)=\vec a(\vec e\,\vec e)-\vec e\,(\vec e\,\vec a)$$Das heißt die erste und die letzte Antwort stimmen. Die mit dem Vektorprodukt allerdings nur im 3-dimensionalen Raum.

Answer 2

Die zweite und dritte Möglichkeit scheiden aus, da bei mehrfachen Skalar- und Vektorprodukten Klammern gesetzt werden müssen.