Gleichung Iterativ lösen

Question

Wie Löse ich diese Gleichung, ohne Rechner:
Bitte vorrechnen:

0 = e^{-x²} *x -0,08815

Answer 1

Hallo cool2000,

Du suchst die Nullstellen der Funktion \(f(x)= e^{-x^2} \cdot x - 0,08815\). Ohne (Taschen-)Rechner wird es sehr(!) aufwendig. Du solltest zumindest eine Tafel oder einen Rechenschieber zur Hand haben, um die Funktion \(e^x\) berechnen zu können.

Wenn Du nach dem Newtonverfahren vorgehst, so brauchst Du die Ableitung$$f'(x) = e^{-x^2}\left( 1- 2x^2\right)$$Da \(e^{-x^2}\) immer größer 0 ist, hat die Ableitung genau zwei Nullstellen \(x_{E1,2} = \pm \frac 12 \sqrt 2\). Dies ist die Lage der Extremstellen. Für alle Werte \(x\lt 0\) ist \(f(x) \lt 0\). Dort sind keine Nullstellen möglich. Für sehr große Werte von \(x\) geht der Ausdruck \(e^{-x^2} \cdot x\) gegen 0. Somit wird \(f(x)\) für sehr große Werte gegen \(-0,08815\) gehen und somit wieder negativ sein.

Bei \(x=0\) ist \(f'(x=0) = 1\) - also positiv. Daraus kann man bereits schließen, dass bei \(x_{E1}=+\frac 12 \sqrt 2\) ein Maximuim vorliegt. ist \(f(x_{E1})\gt 0\) , so wird es zwei Nullstellen links und rechts von diesem Maximum geben. Da \(e^{-x^2} \approx 1\) für Werte um \(x=0\), wird die linke Nullstelle um den Wert \(x_{n1} \approx 0,08815\) liegen. Lassen wir den alten Newton darauf los:$$\begin{array}{r|rr}x& f(x)& f'(x)\\ \hline 0.08815& -0.000682308& 0.976839135\\ 0.088848486& -1.27686E-07& 0.976473057\\ 0.088848617& -4.4964E-15& 0.976472989\\ 0.088848617& 0& 0.976472989\end{array}$$die rechte Nullstelle ist über den Daumen etwa genauso weit vom Maximum entfernt - liegt also grob bei \(x_{n2} \approx \sqrt 2 \approx 1,5\):$$\begin{array}{r|rr}x& f(x)& f'(x)\\ \hline 1.5& 0.069948837& -0.368897286\\ 1.689616025& 0.009116464& -0.271118753\\ 1.72324138& 0.00029682& -0.253504595\\ 1.724412246& 3.56308E-07& -0.252896034\\ 1.724413655& 5.15712E-13& -0.252895302\\ 1.724413655& 0& -0.252895302\end{array}$$Ein Plot bestätigt nochmal obige Überlegungen:

~plot~  e^(-x*x)*x-0,08815;[[-3|3|-2|2]];{0.0888|0};{1.7244|0} ~plot~

Answer 2

0 = e^{-x²} *x -0,08815

Fehlen da vielleicht Klammern?
0 = e^{-x²} *(x -0,08815) → x=0,08815    ;-)

Sonst mit dem Newton-Verfahren, was aber ohne Taschenrechner (oder Tafel) wegen der e-Funktion unmöglich sein dürfte.

$$f(x)= e^{-x^2} *x -0,08815$$

$$f'(x)=e^{-x^2} (1 - 2 x^2)$$

$$ x_{n+1}=x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$

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\( x_1 \approx 0.0888486167 \)

\( x_2 \approx 1.7244136547 \)

Comments

woher weiß ich was am besten xn ist?

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Du startest mit einem Anfangswert x_0, der in der Nähe der vermuteten Nullstelle liegt. Damit berechnest du x_1, usw.

Answer 3

Sicher fehlen Klammern. Dann wird das nicht gut möglich sein,denn bei jedem Näherungsverfahren ist e^x für 0<x<1 zu bestimmen, was mit einem Tafelwerk zwar ungefähr gelingen kann, aber der Gebrauch eines Tafelwerkes ist heute kaum noch jemandem geläufig (selbst jüngeren Lehrern nicht).

Answer 4

Hallo

was heisst ohne Rechner? alle Rechnungen auf dem Papier oder mit TR.

entweder Newtonverfahren, oder regula falsi, beides kann man im internet nachlesen , es gibt 2 Lösungen, die eine nahe bei 0 da fangt man mit x=0,088 an weil dann e^-x^2 praktisch 1 ist und eine weitere unterhalb x=2

was du tun musst hängt von dem Kontext der Aufgabe ab. Habt ihr gerade z.B. Newtonverfahren gemacht

Gruß lul

Comments

Ja, newton verfahren, aber woher weiß ich welcher Startwert der optimals ist?

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Hallo

 für die erste Nullstelle hab ich dir einen guten Anfang schon genannt, für die zweite, 1,7 oder 1.8

bis zu welchen x_n da musst du wissen auf wieviele Stellen du es willst, wenn x_n und x_n-1 auf 6 Stellen übereinstimmen, ist das Ergebnis auf 6 Stellen genau usw.

Gruß lul