e-Funktion Aufgabe, Wendepunkt finden und Tangentengleichung bestimmen.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= (x+3)e^-x , x ∈ IR sowie die zugehörige zweite Ableitung f'' mit f''(x)= x*e^-x + e^-x , x ∈ IR.

a) Weisen Sie nach, dass der Graph von f bei x= -1 einen Wendepunkt besitzt.

b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f in diesem Punkt.

Frage: Wie löse ich diese beiden Aufgaben?

Danke euch schon einmal im Voraus.

Answer 1

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= (x+3)e^-x , x ∈ IR sowie die zugehörige zweite Ableitung f'' mit f''(x)= x*e^-x + e^-x , x ∈ IR.

a) Weisen Sie nach, dass der Graph von f bei x= -1 einen Wendepunkt besitzt.

f''(x)= x*e^-x + 1*e^-x , x ∈ IR.  | nun e^(-x) ausklammern!

f''(x)= (x+1) * e^-x  Null setzen. Schaffst du selber!(?) Nur der erste Faktor kann überhaupt Null sein. 

Comments

Ne ich verstehe nicht wirklich, wie das gemeint ist :(

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Muss ich bei a den Wendepunkt bestimmen?

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Du musst eigentlich nur nachweisen, dass

a1)  f ''(-1) = 0. Das geht auch mit Einsetzen.

a2) Dann noch, dass f ''' ( -1) ≠ 0.

Also

a1)

f''(x)= x*e^-x + e^-x

f''(-1)= (-1)*e^ (-(-1)) + 1*e^ -(-1)

f''(-1)= (-1)*e^1 + 1*e^1

= -e + e = 0.

a2)

Bei b) brauchst du auch die y-Koordinate des Wendepunktes.

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Danke :) Also muss ich noch die Hinreichende Bedingung ausrechnen und die Ergebnisse dann in die Tangentengleichung einsetzten, oder?

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Ja. So kannst du vorgehen.

Übrigens e^x ausklammern, wie du das heute machen solltest, ist eigentlich nochmals dasselbe wie hier e^(-x) ausklammern :) https://www.mathelounge.de/701264/e-funktion-aufgabe-nullstellen-bestimmen

Answer 2

f''(-1)=-e^(-1)+e^(-1)=0

f(-1)=2e → P(-1|2e)

f'(x) bilden, Tangentensteigung f'(-1) ausrechnen.

Mit P und f'(-1) die Geradengleichung bestimmen.