Orthogonalität der Basisfunktionen Φk(t)=cos(kt), Φ-k(t)=sin(kt) und Φ0(t)=1/√2, k∈ℕ

Question

Zeigen Sie, dass für Φ_k(t)=cos(kt), Φ_-k(t)=sin(kt) und Φ₀(t)=1/√2, k∈ℕ gilt:

(Φ_kΦ_l)=1/π*∫^π_-πdtΦ_k(t)*Φ_l(t)=δ_kl.

..habe leider echt keinen Ansatz, wie ich die Aufgabe anfangen soll. Wär super wenn mir jemand helfen würde=)

Comments

kleiner Tippfehler: da soll (Φ_kΦ_l) stehen.

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Darfst du die Nullen vielleicht graphisch erklären?

Integral von sin^2 und cos^2 über eine Periode kann man rel einfach mit part. Integration bestimmen.

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ich weiß leider gar nicht was die Aufgabe mir sagen soll, weshalb mir deine Antwort leider auch nicht viel sagt.
..und graphische erklärungen sind glaub ich nicht erwünscht...

trotzdem schonmal danke für jede hilfe=)

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HALLO??...bräuchte echt Hile=/

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Theo0 Blatt 7?

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japp, theo blatt 7, hab die antwort aber mittlerweile schon so rausbekommen^^

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könntest du mir die antwort auch zeigen? stehe ziemlich auf dem schlauch bei der aufgabe :D

Answer 1

klar:D

in der Aufgabe ist ja ein Skalarprodukt definiert als

(1/π)*∫Φ_k(t) Φ_l(t) dt und um zu zeigen, dass das =δ_kl ist, musst du mithilfe der Formel die Skalarprodukte aller möglichen Kombinationen ausrechnen, und bei dem Skalarprodukt mit gleichem Indize = 1 (siehe kroneckerdelta) und bei verschiedenen Indizes =0 bekommen, d.h.
 du berechnest z.B.

(Φ_kΦ_k)=(1/π)*∫cos(kt)*cos(kt)dt --> Grenzen einsetzten nicht vergessen
...hier müsstest du dann auf das Ergenbis 1 kommen, da du Vektoren mit gleichen Indizes skalarmultipliziert (δ_kl=1 bei k=l; δ_kl=0  bei k≠l)

hoffe das hilft dir=)

Comments

hast du zufällig Aufgabe 4 auf dem TheoBlatt, und wenn ja, könntest du mir den Ansatz verraten?:D