Im Grunde ist das bei allen vier Aufgaben dasselbe Vorgehen, nämlich das Bestimmen von \( \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \) oder \( \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \) Aber du hast natürlich völlig Recht, das ist leichter gesagt als getan.
Schauen wir uns die erste Funktion \( f(x) = 3x^2 \) mit \( a = 2 \) an und versuchen, den Differenzenquotienten zu bestimmen:
$$ \begin{aligned} \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} &= \lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 3 \cdot 2^2}{x - 2} \\ &= \lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 12}{x - 2} \\ &= \lim_{x \to 2} \frac{3(x^2 - 4)}{x - 2} \\ &= \lim_{x \to 2} \frac{3(x + 2)(x - 2)}{x - 2} \\ &= \lim_{x \to 2} 3(x + 2) \end{aligned} $$
Im vorletzten Schritt haben wir dabei die dritte binomische Formel \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \) angewendet und konnten dann wunderbar kürzen. Also ist
$$ \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} 3(x + 2) = 3(2 + 2) = 12 $$
und nachdem wir einfach einsetzen konnten, erhalten wir \( f'(2) = 12 \).
Zugegebenermaßen, mit der \( h \)-Methode wäre es ein bisschen einfacher (wenn auch meiner Meinung nach nicht so elegant) gewesen:
$$ \begin{aligned} \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{3(2 + h)^2 - 12}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{3(4 + 4h + h^2) - 12}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{12 + 12h + 4h^2 - 12}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + 12h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \left(h + 12 \right) \\ &= 12 \end{aligned}$$
Auch hier konnten wir am Ende ohne Probleme \( h = 0 \) einfach einsetzen und kamen so auf den Grenzwert.
Was tun wir also? Im Grunde setzen wir erstmal alles ein, was wir können und vereinfachen. Das haben wir oben gemacht, indem wir \( f(x) \) durch \( 3x^2 \) ersetzt und \( f(2) \) ausgerechnet haben. Genauso haben wir unten \( f(2 + h) \) durch \( 3(2 + h)^2 \) ersetzt und auch \( f(2) \) ausgerechnet. Denn dann haben wir einen Grenzwert, den wir uns anschauen können. Im Falle des Differenzenquotienten oben schauen wir dann, dass wir das \( x - x_0 \) irgendwie kürzen können, indem wir es aus dem Zähler ausklammern. Das ging hier ganz einfach mit der binomischen Formel. Bei der \(h\)-Methode schauen wir wiederum, dass wir irgendwie das \( h \) rauskürzen können. Was uns das Kürzen bringt? Wir können dann einfach einsetzen.
Der Grund, warum wir den Grenzwert des Differenzenquotienten anschauen und nicht einfach \( x_0 \) einsetzen, ist doch der, dass wir \( x_0 \) nicht einsetzen können: In \( \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \) ergibt sich dann \( \frac{0}{0} \) und das ist doch undefiniert. Deswegen müssen wir den Grenzwert betrachten und versuchen, durch Umformungen irgendwie einen äquivalenten Ausdruck erhalten, bei dem der Nenner nicht mehr null wird, wir also einfach einsetzen können. Das haben wir oben mit \( 3(x + 2) \) und unten mit \( h + 12 \) geschafft.
Die \( h \)-Methode ist bei Polynomen (wie in deinen vier Aufgaben) in der Regel einfacher, weil sie eine "Brechstangen"-Lösung ist: Du multiplizierst einfach alle sich ergebenden Klammern aus, bis du ein \( h \) kürzen kannst und setzt dann die Stelle einfach ein. Der Differenzenquotient benötigt im Allgemeinen ein bisschen Grips und ist sinniger bei Funktionen, die man nicht einfach "auseinanderziehen" kann.
Jetzt versuche dich mal an der zweiten Aufgabe. Wenn du Fragen hast, schreib einen Kommentar, ich helfe dir gerne. Vorrechnen ist hier halt weniger sinnig, gerade weil sich die Aufgaben in der Lösungsstrategie wirklich überhaupt nicht unterscheiden. Das Credo ist also jetzt das, was ich dir oben gezeigt habe, in den anderen Aufgaben anzuwenden. Wenn ich es dir vorrechne, wird es in der Klausur nichts.
