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Wir rechnen gerade Grenzwerte aus. Die Rechnung verstehe ich eigentlich.

Wir hatten diese Funktion als Beispiel: \( f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1} \)

Danach rechneten wir Folgendes: Lim (X->+-unendlich). Nachdem wir X2 bzw. X ausgeklammert haben kam heraus dass der limes X ist. Wie gesagt, den Rechenweg habe ich verstanden, aber was genau sagt mir das jetzt?


Danach stellten wir fest, dass die Funktion eine Luecke hat, da wenn man für X 1 einsetzt 0/0 herauskommt.

Danach haben wir den rechtsseitigen Grenzwert errechnet, indem wir für X=1+1/n einsetzten. Auch hier ist der Rechenweg nicht das Problem. Zum Schluss kam raus: Lim (n->unendlich) 2 = 2.

Hierzu habe ich folgende Fragen: Warum ist der limes von 2 = 2? Und wenn ich jetzt weiss, dass 2 zum Schluss herauskommt, was sagt mir das? Also was kann ich mit diesem Ergebnis anfangen? Weil die Luecke liegt ja bei x=1.


Ich denke, ich hab einfach die Begrifflichkeiten von Limes und Grenzwerten noch nicht verstanden.

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1 Antwort

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  1.)

  lim x -> ∞ [ ( x^2 - 1) / (  x - 1 ) ]

  Die Antwort in Worten : aufgrund das x gegen unendlich geht spielt die -1
keine Rolle mehr. Es bleibt  x^2 / x = x. Der Funktionswert ist also, da x gegen
unendlich geht, auch unendlich. f ( x ) = x  l stetig ansteigende Gerade

  lim x -> ∞ [ ( x^2 - 1) / (  x - 1 ) ] = ∞

  In diesem Fall gibt es auch noch eine 2.Variante

 f ( x ) = ( x^2 - 1) / (  x - 1 ) 
 f ( x ) = [ ( x - 1) * ( x + 1 ) ] / (  x - 1 ) ]   l  Vorausetzung x - 1 ungleich null, kürzen
 f ( x ) =  x + 1  l eine Geradengleichung

  lim x -> ∞ [ x +1 ] = ∞

  2.)

    Es handelt sich um den Spezialfall einer " hebbaren Lücke ".

    x = 1 [ ( x^2 - 1) / (  x - 1 ) ]  wird zu 0/0 also einer Lücke.

    ( Ich rechne jetzt einmal ausführlich )

    x = 1 + 1/n  l bei n gegen unendlich wird x = 1 entspricht lim x -> 1

   f ( 1 + 1/n ) = [ ( 1 + 1/n )^2 - 1 ] / ( 1 + 1/n - 1 )
   f ( x + 1/n ) = [ 1 + 2/n + 1/n^2 - 1 ] / ( 1/n )
   f ( 1 + 1/n ) = ( 2/n + 1/n^2 ) / ( 1 / n )
   f  ( 1 + 1/n ) =  (2*n/n^2 + 1/n^2 ) * n
   f ( 1 + 1/n ) =  ( 2n + 1)/n^2 * n
   f ( 1 + 1/n) = ( 2n + 1 ) / n 
   f ( 1 + 1/n ) = 2 + 1/n
   lim n -> ∞ = 2

  Der Funktionswert für lim x -> 1   = 2.

  Dein Zitat  " Zum Schluss kam raus: Lim (n->unendlich) 2 = 2.  "  ist also nicht
richtig. Hier liegt der Verständnisfehler.

  Im  Fall 1.) ist  der Funktionswert für lim x -> ∞   = ∞.
  Im Fall 2.) ist  der Funktionswert für lim x -> 1   = 2.

  Soweit mein Wissen. Bei Fragen wieder melden.

  mfg Georg

 



 

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