Grenzwert \lim\limits_{n\to\infty} (\frac{5x+1}{x^2+5})^{2n+1}

Question

Aufgabe:

$$ \lim\limits_{n\to\infty} (\frac{5x+1}{x^2+5})^{2n+1} $$

Problem/Ansatz:

Könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein? Ich hab keinen Ansatz wie ich dran gehen soll.

Comments

Sicher, dass du auch x in deinem Ausdruck hast? Ansonsten musst du dann schauen, für welche Werte x der innere Ausdruck <1 oder ≥1 wird.

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Ja da bin ich mir sicher. Müsste ich dann eine Fallunterscheidung mit $$ \frac{5x+1}{x^2+5} \geq 1 \text{ und } \frac{5x+1}{x^2+5} \lt 1 $$ machen?

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Ok. Genau, du musst eine Fallunterscheidung machen.

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Müsste ich dann eine Fallunterscheidung mit $$ \frac{5x+1}{x^2+5} \geq 1 \text{ und } \frac{5x+1}{x^2+5} \lt 1 $$ machen?

Nicht nur.

Bedenke, dass der Quotient auch negativ werden kann und du auch kleiner/gleich/größer -1 in betracht ziehen musst.

PS: "≥1" ist schon nicht zielführend. Das Verhalten bei >1 und bei =1 unterscheidet sich deutlich.

Answer 1

-1 ≤ (5·x + 1)/(x^2 + 5) ≤ 1 --> x ≤ -3 ∨ -2 ≤ x ≤ 1 ∨ x ≥ 4

Also

für x = -3 ; x = -2 ist der Grenzwert -1

für x = 1 ; x = 4 ist der Grenzwert 1

für x < -3 ∨ -2 < x < 1 ∨ x > 4 ist der Grenzwert 0

Comments

Danke schon einmal für deine Antwort.

Ich hab nun das "x" in 4 Fälle unterschieden.

Fall 1:

$$ |\frac{5x+1}{x^2+5}| \lt 1 $$

Fall 2:

$$ \frac{5x+1}{x^2+5}= 1 $$

Fall 3:

$$ \frac{5x+1}{x^2+5} \gt 1 $$

Fall 4:

$$ \frac{5x+1}{x^2+5} \leq -1 $$

Jetzt muss ich dazu sagen, dass Ungleichungen absolut nicht zu meinen Stärken gehören.

Der Fall 2 ist klar(da keine Ungleichung). Da bekomme ich x=4 und x=1 raus. Damit weiß ich das die Folge gegen 1 läuft.

Für den Fall 3 habe ich nun x>4 und x>1 raus. Die Lösungsmenge wäre dann alle x>4. Wenn ich jetzt allerdings z.B.  x=5 einsetze, erhalte ich für die Ungleichung 26/30 > 1, was ja nicht stimmen kann.

Für den Fall 4 erhalte ich x<= -2 und x<=-3 raus. Hier wäre ja die Lösungsmenge alle x <=-3. Wenn ich hier wieder x=-4 einsetze erhalte ich -19/21 <= -1. Das stimmt ja ebenfalls nicht.

An den Fall 1 habe ich mich dann gar nicht mehr dran getraut. Ich glaube ich hab hier einen großen Denkfehler.

Könntest du mir dies noch einmal genauer erläutern?