Summenzeichen, Summe lösen

Question

Aufgabe:

(iii) $\sum \limits_{k=4}^{113} k^{4}-\sum \limits_{k=1}^{112}(1-k)^{4}$

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht ob ich irgendwas im Skript übersehen habe, aber ich kriege es einfach nicht hin diese Summe auszulösen.

Scheitere schon an dem k⁴ also für mich ist das keine Arithemtische und auch keine Geometrische Summe und ich kriege sie auch nicht so aufgelöst das sie in einer der Formen ist

Answer 1

Aloha :)

$$\sum\limits_{k=4}^{113}k^4-\sum\limits_{k=1}^{112}(1-k)^4=\sum\limits_{k=4}^{113}k^4-\sum\limits_{k=0}^{111}(1-(k+1))^4=\sum\limits_{k=4}^{113}k^4-\sum\limits_{k=0}^{111}k^4$$$$=(113)^4+(112)^4+\sum\limits_{k=4}^{111}k^4-\left(0^4+1^4+2^4+3^4+\sum\limits_{k=4}^{111}k^4\right)$$$$=113^4+112^4-1^4-2^4-3^4=320\,399\,199$$

Comments

Vielen dank, in der ersten Zeile wo du das ( 1 - (k+1))⁴ würde ich schreiben

(1 - k -1 )⁴ = -k⁴ warum ist bei dir das Minus weg ?

Und kannst du dir mein Kommentar von oben vielleicht noch durchlesen? Da ist eine andere Aufgabe einer Summe bis N die wir lösen sollen

---

Ah (-1)⁴ * k⁴ = k⁴

Answer 2

In der 2. Summe kannst du (k-1)⁴ schreiben, weil (k-1)⁴ = (1-k)⁴

also: 4⁴+5⁴+6⁴+...+111⁴+112⁴+113⁴  -   ( 0⁴+1⁴+2⁴+3⁴+4⁴+5⁴...+111⁴)

        = 112⁴+113⁴  -1-2⁴-3⁴  = 320399199

         rot fällt weg.

Answer 3

Versuche dir mal die Summanden im Einzelnen vorzustellen, dann sieht das so aus :

4⁴ + 5⁴ + 6⁴ + 7⁴ + …. +111⁴ + 112⁴ + 113⁴  -  ( 0⁴ + (-1)⁴ + (-2)⁴ + (-3)⁴ + …. +(-111)⁴  )

Da aber z.B. 5⁴ und (-5)⁴ den gleichen Wert haben, heben sich viele Summanden gegenseitig

auf und es bleiben nur von der ersten Summe die letzten beiden und davon werden die ersten 4 der

2. Summe subtrahiert also 112⁴ + 113⁴  -  ( 0⁴ + (-1)⁴ + (-2)⁴ + (-3)⁴ )

Das kann man ja leicht ausrechnen.

Comments

Also geht es hier nicht darum die Summe aufzulösen sondern den Zusammenhang zu sehen?

Text erkannt:

$\sum \limits_{k=1}^{N}\left((k+1)^{2}-k^{2}\right)$

 Hier dann das selbe mit dem (k+1)² und dem k²?

für (k+1)² = 2²  3²  4² ....

für k² = 1² 2² 3³

Sagen wir mal N = 5 dann würde am Ende noch 1² - 6² übrigbleiben also könnte man auch schreiben (N+1)² - (N-(N-1))²