Punktsymmetrie bildet Gerade g auf eine Gerade parallel zu g ab

Question

Ich soll beweisen, dass eine Punktsymmetrie jede Gerade g auf eine Gerade parallel zu g abbildet.

Ich wär für Hilfe sehr dankbar oder zumindest für einen Ansatz!

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Titel: Punktsymmetrie bildet Gerade auf eine Parallele Gerade ab

Stichworte: punktsymmetrie

Ich soll beweisen, dass eine Punktsymmetrie jede Gerade g auf eine Gerade parallel zu g abbildet.

Ich wär für Hilfe sehr dankbar oder zumindest für einen Ansatz!

Answer 1

Sei

        $g: \vec{x}=\vec{a} + r\vec{v}$

eine Gerade und $B$ ein Punkt mit Ortvektor $\vec{b}$.

Spiegelt man den Punkt mit Ortsvektor $\vec{a} + r_0\vec{v}$ an $B$, so erhalt man den Punkt mit dem Ortsvektor

        $\begin{aligned} &\vec{a} + r_0\vec{v} + 2·\left(\vec{b} - \left(\vec{a} + r_0\vec{v}\right)\right)\\ =\,&\vec{a} + r_0\vec{v} + 2·\vec{b} - 2·\left(\vec{a} + r_0\vec{v}\right)\\ =\,&2·\vec{b} - \vec{a} - 2r_0\vec{v}\\ \end{aligned}$.

Dieser Punkt liegt auf der Geraden

        $g': \vec{x} = \vec{a}' + r\vec{v}$

mit

        $\vec{a}' = 2\vec{b}-\vec{a}$.

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Danke erst mal, geht das ohne vektoren auch?

Answer 2

Hallo

Uni oder Schule? Gerade der Form x= a+s*v mit a Ortsvektor und v Richtungsvektor? Oder y=mx+b

Auf jeden Fall kannst du 2 beliebige Punkte abbilden und zeigen dass v oder m dabei erhalten bleibt.

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ein Unibeispiel. Kann man das Beispiel ohne vektoren auch lösen?

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Du musst schon die Antwort von lul genauer beantworten, wenn man jemand wissen soll, was du überhaupt lernen sollst.

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Also eigentlich hätte ich gedacht es ist klar, aber wir machen gerade Affinitäten an der uni durch (noch keine vektoren) und deshalb wollt ich wissen, ob man das bsp auch ohne vektoren lösen kann (wie lul sagt y=mx+b)

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Hallo

 weisst du wie du einen Punkt (x,y) an eine Punkt (a,b) spiegelst? Warum tust du das dann nicht mit dem allgemeinen Punkt (y,mx+b)

Gruß lul

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Aus der Schulmathematik weiß ich grundsätzlich wie man Punkte spiegelt, sowohl als Vektor als auch als Skalar, nur tu ich mir (noch) schwer das im Unimathe richtig anzuwenden...

Ich wäre über einen Lösungsvorschlag sehr dankbar, wenn das machbar ist!