Es geht ja um offene bzw. abgeschlossene Mengen in R^d .
Vermutlich ist offen so definiert:
O ist offen <=> Für jedes x ∈ O gibt es eine Umgebung von x, die ganz in O
enthalten ist.
zu 1. Die Vereinigung ist offen, denn sei x aus dieser Vereinigung, dann gibt es
(mindestens) eine i∈I mit x ∈ Oi .Da Oi offen ist, enthält Oi mit x auch
eine ganze Umgebung von x und diese Umgebung ist dann auch Teilmenge
der Vereinigung aller Oi.
zu 2. Hier ist der Pfiff: es sind nur endlich viele.
Sei also x aus dem Durchschnitt. Dann liegt x in der der Mengen
Oi. Dann gibt es für jedes i ein εi so dass Oi die εi -Umgebung von x
enthält. Von den endlich vielen εi gibt es ein Minimum ε.
Und diese ε-Umgebung ist in allen Oi enthalten, also auch im Durchschnitt.
3 und 4: Bedenke A ist abgeschlossen genau dann, wenn R^d \ A offen ist.
Damit kannst du alles auf 1 und 2 zurückspielen.
Ein Beispiel wären die ε-Umgebungen um 0 für alle ε=1/n und n ∈ ℕ \ {0}.
Die sind alle offen, aber ihr Durchschnitt besteht nur aus der 0, ist also
nicht offen.
