Wie wurde hier umgeformt (Gleichung)

Question

Die letzte Umformung habe ich verstanden. Aber die zweite nicht. Was wurde gemacht?

Answer 1

Aloha :)

Da wurden auch ein paar wichtige Schritte weggelassen. Ich ergänze das einfach mal:$$\phantom{=}5\left(2^{n-1}+3^{n-1}\right)-6\left(2^{n-2}+3^{n-2}\right)$$$$=5\left(2\cdot2^{n-2}+3\cdot3^{n-2}\right)-6\left(2^{n-2}+3^{n-2}\right)$$Jetzt wurden die Faktoren mit $2^{n-2}$ und diejenigen mit $3^{n-2}$ identifiziert$$=5\left(2\cdot\underbrace{2^{n-2}}_{\uparrow}+3\cdot\overbrace{3^{n-2}}^{\downarrow}\right)-6\left(\underbrace{2^{n-2}}_{\uparrow}+\overbrace{3^{n-2}}^{\downarrow}\right)$$und zusammengefasst:$$=2^{n-2}\left(5\cdot2-6\right)+3^{n-2}\left(5\cdot3-6\right)$$Der Rest ist dann Klammern ausrechnen und fertig:$$=2^{n-2}\cdot4+3^{n-2}\cdot9$$$$=2^{n-2}\cdot2^2+3^{n-2}\cdot2^3$$$$=2^n+3^n$$

Comments

Vielen dank! Habe es jetzt verstanden