Homogenität: f(x,y) = ln(x^2 + y^2) - ln(y^2) + 5

Question

Aufgabe:

Ist folgende Funktion homogen? Wenn ja von welchem Grad?

f(x,y) = ln(x² + y²) - ln(y²) + 5

Problem/Ansatz:

Soweit ich weiß ist dies aufgrund der alleinstehenden 5 keine homogene Funktion.

Laut Lösung ist die Funktion aber homogen vom Grad 0.

Trifft ein Homogenitätsgrad von 0 also nicht auf jede beliebige Funktion zu (x^0 = 1)?

Kann mir das jemand erklären?

Answer 1

Es gilt für jeden Vektor Vektor \(v=(x,y)\in\mathbb{R}^2\) und jedes \(t\in\mathbb{R}\):

\(f(t\cdot v) = f(t\cdot x, t\cdot y) = \log(t^2(x^2+y^2)) - \log(t^2\cdot y^2)+5 \\= \log(x^2+y^2)-\log(y^2) + 5 + \log(t^2)-\log(t^2) = f(v)\).

Die Gleichung \(f(t\cdot v)=f(v)\) für alle Parameter bedeutet einfach nur, dass \(f\) homogen von Grad 0 ist. Intuitiv bedeutet das, der Funktionswert ist nicht vom Betrag von \(v\) abhängig, sondern nur vom Argument (wenn man das Argument in Polarkoordinaten betrachtet), vielleicht kannst du dir darunter mehr vorstellen. Oder ganz bildlich: Ein Konturengraph von \(f\) besteht nur aus Geraden, die vom Ursprung ausgehen.