Zeige: Die Schnittpunkte haben die gleichen x-Koordinaten.

Question

Zeige, dass die Schnittpunkte von y(x²+1)=x²- x und x²+y²= x+y die gleichen x-Koordinaten haben, wie die Schnittpunkte von y(x²+1)=1+ x und x²+y²= x+y.

Answer 1

Es ist

\(\begin{aligned}y(x^2+1)&=1+x\\-y(x^2+1)&=-(1+x)\\x^2+1-y(x^2+1)&=x^2+1-(1+x)=x^2-x\\(1-y)(x^2+1)&=x^2-x\end{aligned}\)

die Gleichung, deren Graph an der Geraden \(y=0,5\) zum Graphen von

\(y(x^2+1)=x^2-x\)

gespiegelt ist.

Weiterhin beschreibt die Gleichung \(x^2+y^2=x+y\) einen Kreis mit Mittelpunkt \(M(0,5|0,5)\) und Radius \(r=\frac{1}{\sqrt{2}}\), denn sie lässt sich umschreiben in

\((x-0,5)^2+(y-0,5)^2=0,5.\)

Damit ist auch die Kreislinie symmetrisch zu \(y=0,5\) und die Schnittpunkte müssen jeweils dieselbe \(x\)-Koordinate haben. Die \(y\)-Koordinaten sind ebenfalls symmetrisch zu \(y=0,5\).