Frage zu Bijektivität? (Matrix)

Question

stimmt es, dass wenn eine zugehörige quadratische Matrix zu einer linearen Abbildung keinen vollen Rang hat, diese dann weder surjektiv noch injektiv sein kann?

Dass sie nicht Injektiv sein kann verstehe ich, denn ihr kern ist ja dann nicht mehr trivial.

Aber warum könnte sie dann auch nicht surjektiv sein?

MfG

Pizzaboss

Answer 1

Das ist richtig, die Abbildung ist dann weder surjektiv noch injektiv.

Aber warum könnte sie dann auch nicht surjektiv sein?

Dimensionssatz: Für eine lineare Abbildung φ von V nach V gilt

        dim(Kern φ) + dim(Bild φ) = dim(V).

Ist dim(Kern φ) > 0, dann ist dim(Bild φ) < dim(V) und deshalb Bild φ ≠ V.