Inhalt der Fläche zwischen zwei Graphen

Question

Aufgabe:

Ja also habe die Funktionen gleichgesetzt und dann die 2Schnittpunkte -2 und 3 bekommen. Habe es auch so ausgerechnet, die Lösung ist jedoch falsch. Mein Kollege sagte dass ich die 0 auch noch als Schnittpunkt nehmen muss.

Dann habe ich halt das versucht mit -2 - 0 und 0 - 3.... Die Lösung ist halt immernoch falsch....

Es sollte 7.027 sein

(Bitte nur nötige Antworten und nicht so Sachen wie „schau dir doch Videos an“ {habe ich auch schon und dieses Problem nicht gefunden} oder sonstige nicht weiter helfende Kommentare wie in anderen Mathe Forums...)

Gruss

Text erkannt:

2
$$\frac{7}{2}$$
$x$

Answer 1

Aloha :)

Du musst das Integral immer von einem Schnittpunkt zum nächsten berechnen und von jedem Teilintegral den Betrag nehmen. Die Differenz der Funktionen lautet:

$$f(x)-g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{4}{3}x-\left(\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x\right)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}x^2-2x$$$$\phantom{f(x)-g(x)}=\frac{x}{3}\left(x^2-x-6\right)=\frac{x}{3}(x-3)(x+2)$$Wir finden 3 Nullstellen bei $x=-2,x=0,x=3$ und brauchen daher 2 Integrale:

$$F=\left|\int\limits_{-2}^0\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}x^2-2x\right)\right|+\left|\int\limits_0^3\left(\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}x^2-2x\right)\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[\frac{x^4}{12}-\frac{x^3}{9}-x^2\right]_{-2}^0\right|+\left|\left[\frac{x^4}{12}-\frac{x^3}{9}-x^2\right]_0^3\right|$$$$\phantom{F}=\left|\frac{(-2)^4}{12}-\frac{(-2)^3}{9}-(-2)^2\right|+\left|\frac{3^4}{12}-\frac{3^3}{9}-3^2\right|$$$$\phantom{F}=\left|\frac{16}{12}+\frac{8}{9}-4\right|+\left|\frac{81}{12}-3-9\right|=\frac{16}{9}+\frac{21}{4}=\frac{235}{36}=7,02\overline{7}$$

Comments

Wow Danke

Da war ich jetzt stundenlang dran und eigentlich nichtmal so weit entfernt von der richtigen Lösung. Vielen Herzlichen Dank für eine so ausführliche Erklärung!

Answer 2

Es geht um diese Fläche:

Sie besteht aus zwei Teilstücken, die getrennt zu berechnen sind. Aufpassen: obere und untere Begrenzung tauschen ihre Rollen!