Determinante einer Matrix mit Parameter

Question

Aufgabe:

Mit einem Parameter a sei die Matrix A

a   1  1

2  -2  2

1   0  a

Für welche Werte von a ist det (A) = -1?

Problem/Ansatz:

Meine Berechnung der Determinante ergibt -2a²  -2a + 4 = 0, um die gefragten Werte zu erhalten habe ich anstatt "0" eben "-1" eingesetzt: -2a²  -2a + 4 = -1 und daraus folgt: -2a²  -2a + 5 = 0

Zum Ausrechnen von a habe ich bereit die pq Formel, Mitternachtsformel und Ausklammern versucht. Doch kein Ergebnis bestand die Probe.

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen?

Vielen Dank im Voraus

 

Comments

Hallo,

Die Determinante ist ein Zahl und keine Gleichung, also: Meine Berechnung der Determinante ergibt \(-2a^2-2a+4\).

Wenn wir Deine Rechnung prüfen sollen, musst Du sie posten. Ich würde aber mal die Aufgabe checken, ob es wirklich \(-1\) sein soll.

Gruß

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Hallo,

Mein Ergebnis ist das gleiche, ich hab nur daraus eine Gleichung gemacht um das "a" auszurechnen.

Das ist diese Aufgabe und es geht um b)

Text erkannt:

Mit einem reellen Parameter \( a \) sei die Matrix
$$ A=\left(\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & a \end{array}\right) $$
definiert.
a) Für welche Werte von \( a \) ist \( A \) invertierbar?
b) Für welche Werte von \( a \) ist \( \operatorname{det}(A)=-1 ? \)

Danke und Gruß

Answer 1

Aloha :)

Entwickle die Determinante nach der letzten Zeile (wegen der Null):

$$\left|\begin{array}{c}a & 1 & 1\\2 & -2 & 2\\1 & 0 & a\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}1 & 1\\-2 & 2\end{array}\right|+a\left|\begin{array}{c}a & 1\\2 & -2\end{array}\right|=2-(-2)+a(-2a-2)=4-2a^2-2a$$Die Forderung lautet, dass die Determinante \(=-1\) sein soll:

$$4-2a^2-2a=-1$$$$5-2a^2-2a=0$$$$2a^2+2a-5=0$$$$a^2+a-\frac{5}{2}=0$$$$a_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{5}{2}}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{10}{4}}=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{11}}{2}$$

Answer 2

Deine Gleichung kann man schreiben als $$  a^2 + a - \frac{5}{2} = 0 $$ Lösungen sind $$  a_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{  \frac{11}{4}} $$

Answer 3

Hallo

 deine Determinante ist richtig, die Lösung  a=-1/2+-√2,75

was meinst du mit Probe bestehen ?

Gruß lul

Comments

Hi,

irgendwie muss man ja nachprüfen ob die Lösung stimmt, oder nicht? Also wenn ich mit diesem Wert jetzt das "a" ersetzte und die Determinante damit berechne, dann müsste ja eben -1 rauskommen. Oder ist es nicht notwendig? 

Gruß

Maga