Injektiv , Surjektiv

Question

Auf die Abbildungen überprüfen und danach auf injektivität, surgektivitä und bijektivität überprüfen.

\( \begin{aligned} f_{1}: \mathbb{Z} & \rightarrow \mathbb{N} \\ k & \mapsto 2 k \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} f_{2}: \mathbb{Z} & \rightarrow \mathbb{Z} \\ k & \mapsto 2 k \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} f_{3}: \mathbb{Z} & \rightarrow 2 \mathbb{Z} \\ k & \mapsto 2 k \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} f_{4}: \mathbb{Z} & \rightarrow \mathbb{Z} \\ k & \mapsto \frac{1}{2} k \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} f_{5}: 2 \mathbb{Z} & \rightarrow \mathbb{Z} \\ k & \mapsto \frac{1}{2} k \end{aligned} \)

Lösungsvorschläge zu den Übungen:

28.1 Lösung (zu Aufgabe 1.3.3). Die Zuordnungsvorschriften \( f_{1} \) und \( f_{4} \) sind nicht definiert, da etwa \( f_{1}(-1)=-2 \notin \mathbb{N} \) und \( f_{4}(-1)=-\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z} . \) Hingegen sind \( f_{2}, f_{3}, f_{5} \) Abbildungen.

\( f_{2} \) ist injektiv, da \( 2 k=2 k^{\prime} \Rightarrow k=k^{\prime}, \) aber nicht surjektiv, da etwa 1 kein Urbild hat

\( f_{3} \) und \( f_{5} \) sind injektiv (analog zu eben) und surjektiv, also bijektiv, und sogar zueinander invers, d. h. es gilt \( f_{5}=f_{3}^{-1} \)

Problem/Ansatz:

Ist jemand so lieb und kann mir diese Aufgabe und die Lösung etwas einfacher gestalten so das ich folgen kann sprich auf "Einfachsprache übersetzen ….

Zu dem Thema hab ich unzählige Mathevideos gesehen aber mich verwirt oben drüber Definition Bereich (bsp. Z=2Z)

Und danach k=2k. Wo bleibt da f(x) ≠ y oder f(y) =x (surjektiv). Oder was hab ich da falsch verstanden???

Answer 1

Aloha :)

"injektiv" bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird.

"surjektiv" bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird.

"bijektiv" bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge genau 1-mal erreicht wird.

$$f_1:\mathbb{Z}\to\mathbb{N}:\;k\mapsto2k$$Diese Abbildung ist nicht definiert, denn \(k=-1\in\mathbb{Z}\) wäre in der Definitionsmenge zulässig, aber das Ergebnis der Abbildung \(k\mapsto2k=-2\not\in\mathbb{N}\) ist keine natürliche Zahl.

$$f_2:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}:\;k\mapsto2k$$Um zu prüfen, ob \(f_2\) injektiv ist, nehmen wir an, es gibt 2 Elemente \(k_1,k_2\) aus der Definitionsmenge, die das gleiche Ziel haben:$$f(k_1)=f(k_2)\;\;\Rightarrow\;\;2k_1=2k_2\;\;\Rightarrow\;\;k_1=k_2$$Es gibt also keine 2 verschiedenen Elemente \(k_1,k_2\) die dasselbe Ziel haben. Jedes Element der Zielmenge wird also höchstens 1-mal erreicht. Die Funktion ist injektiv.

Wir prüfen noch, ob \(f_2\) surjektiv ist. Dann müsste jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht werden, also z.B. auch die \(3\). Wir suchen also ein \(k\), das auf \(3\) abbildet.$$k\mapsto2k=3\;\;\Rightarrow\;\;k=1,5\not\in\mathbb{Z}$$Das Element \(3\) der Zielmenge wird nicht erreicht, \(f_2\) ist nicht surjektiv.

Kommst du jetzt mit den anderen Aufgaben klar? Falls nicht, melde dich bitte einfach nochmal...

Comments

Danke schön. Was mich nur noch verwirrt ist Definitionbereich und Zielbereich. Wie kann ich das Deuten 2Z=Z. Ich kenne Z als Zahlen{ -5,-4...0,.. 4, 5...} sowei verständlich. N=Z ist klar Normalzahlen ohne minus gegenuber Z inkl - zahlen kann keine Abbildung sein. Aber wie soll ich dies Deuten zb. 2Z =Z und k=1/2k.Erst mal sagt Definition Bereich was von ganzahlen (sonst wäre es ein R für Reale Zahl oder?? ). Oder muss der Definition Bereich was auch immer geteilt werden?? ‍♂️

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\(2\mathbb{Z}\) bedeutet, dass nur gerade ganze Zahlen im Zielbereich sind, also:

\(\{\ldots,-4,-2,0,+2,+4,\ldots\}\)

Bei \(f_3\) führt das dazu, dass die Funktion auch surjektiv ist. Denn die \(3\) als unser Gegenbeispiel bei \(f_2\) ist ja nicht mehr in der Zielmenge. Wenn du nur gerade Zahlen in der Zielmenge hast, findest du immer ein \(k\) aus der Definitionsmenge, das passt.