Zeigen, dass Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert

Question

Hallo, Freunde, wie beweist man eigentlich, dass die Funktionenfolge

 $f_{n} : [0, \infty) \to \mathbb R$,

$f_{n}(x) = \dfrac{nx}{e^{nx}}$

nicht gleichmäßig konvergiert? 

Answer 1

Die Funktionenfolge konvergiert punktweise gegen 0.

Jede der Funktionen hat bei x=1/n ein Maximum mit dem Wert 1/e.

Wenn du also etwa eps=1/(2e) vorgibst, dann gibt es kein N, so dass

für alle n>N und für alle x∈D_f gilt |  f(x) - 0 | < eps, denn

an der Stelle x=1/n hat man ja immer den Wert 1/e > eps.

Comments

! Nur irgendwie erscheint mir das komisch. Könnte ich nicht auch genauso gut sagen:

Es ist $f_{n}(\dfrac{2}{n}) = \dfrac{2}{e^2}$. Wähle also $\varepsilon = \dfrac{1}{e^2}$. Dann gibt es kein N, so dass für alle n und alle x€D gilt:

$|f_{n}(x)| ≤ \varepsilon$,

da ja $f_{n}(\dfrac{2}{n}) > \varepsilon$.

Wäre das auch richtig? Braucht man das Maximum überhaupt?

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please help :(

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Ja, das ist doch auch OK.

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Okay, mir erschien das nur irgendwie zu einfach, um korrekt zu sein :D Es wirkt so willkürlich :D Aber wenn es richtig ist, dann ist ja alles gut! Vielen lieben Dank! :*

Answer 2

Vielleicht hilft dir die Abbildung mit n=0, n=10, n=20, ..., n=50.

Comments

ne, leider nicht :/ aber danke trzd :)