Hallo Leute, also folgende Aufgabe:
Show that \( f_{n}:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R} \) given by \( f_{n}(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} x^{k} \) converges uniformly on every interval \( [a, b] \subset(-1,1) \).
Meine Lösung (in Kurzform):
\( | \sum \limits_{k=0}^{n} x^{k} - \dfrac{1}{1-x} | = \)
\( | \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x} - \dfrac{1}{1-x} | \)
\( = \dfrac{|x|^{n+1}}{1-x} \)
\( \leq \dfrac{|x|^{n+1}}{1-b} \)
1. Fall: \(x \geq 0 \). Dann ist
\(\dfrac{|x|^{n+1}}{1-x} \leq \dfrac{b^{n+1}}{1-b} \to 0\)
2. Fall: \(x < 0 \). Dann ist
\(\dfrac{|x|^{n+1}}{1-x} \leq \dfrac{|a|^{n+1}}{1-b} \to 0\)
womit die gleichmäßige Konvergenz gezeigt wäre.
Was meint ihr, Freunde?
