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Begründe mithilfe der Abbildung, dass es eine reelle Zahl z mit 4 < z < 5 gibt, für die $$ \int\limits_{z}^{z+1} k(x) \text{ d}x = 0 $$ gilt. Die Abbildung zeigt $$ k(x) = \dfrac {1}{40}\cdot \left(x^3-30x^2+288x-815\right) $$

~plot~ 1/40*(x^3-30*x^2+288*x-815); [[ -5 | 10 | -3 | 3 ]] ~plot~


PS: Frage sprachlich und formelsatztechnisch überarbeitet und eine mir sinnvoll erscheinende Abbildung ergänzt. Gast az0815

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Aus welcher Sammlung stammt diese Aufgabe?

Es stammt aus dem Mathe Abitur 2019 Hamburg

Hättest du doch statt  "mathematishc"  lieber  "anshcaulich"  geschrieben.

Jetzt musst du die Stetigkeit der Funktion  g  mit  g(z) = zz+1 k(x) dx  nachweisen.

Es stammt aus dem Mathe Abitur 2019 Hamburg

Dann gib doch bitte jedesmal(!) die Quelle einschließlich der genauen Aufgabennummer an.

woher weiß ich das es sich um stetigkeit handelt?

Wie kann ich die Stteigkeit nachweisen`? ????

\( \int \limits_{x}^{x+1} \dfrac{1}{40}\left(t^{3}-30 t^{2}+288 t-815\right) d t=0 \)

 \( \dfrac{x^{3}}{40}-\dfrac{57 x^{2}}{80}+\dfrac{259 x}{40}-\dfrac{2723}{160}=0 \)

\( x\approx4.51985622476237 \)

2 Antworten

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Beste Antwort

Vermutlich soll man nur sagen:

zwischen 4und 5 ist eine Nullstelle.

Anschaulich scheint das Integral von 4 bis 5 negativ

zu sein, etwas mehr unter als über der x-Achse.

Und von 4,3 bis 5,3 ist es sicherlich positiv also

wird es bei einem Startpunkt zwischen 4 und 4,3

wohl einmal 0 werden.

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Anschaulich scheint das Integral von 4 bis 5 negativ
zu sein, etwas mehr unter als über der x-Achse.
Und von 4,3 bis 5,3 ist es sicherlich positiv also
wird es bei einem Startpunkt zwischen 4 und 4,3
wohl einmal 0 werden.

Ich präzisiere das mal zu
"Das Integral von 4 bis 5 (also g(4)) ist sicher nagativ, da der Graph von k dort komplett unterhalb der x-Achse verläuft. Von 5 bis 6 (also g(5)) ist es sicher positiv, da der Graph von k dort komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
Also gibt es eine Stelle z zwischen 4 und 5, bei der g(z) = 0 ist."

Dieses "also" ist der sog. Zwischenwertsatz, der allerdings nur für stetige Funktionen g gilt. Da g ein Polynom dritten Grades ist, kann diese Stetigkeit als trivialerweise vorliegend angesehen werden.

Da geht es doch wohl eher um die Stetigkeit der Integralfunktion

und nicht die der Funktion selbst. Das scheint mir allerdings

für ne Abi-Frage etwas zu heftig.

Stetigkeit der Integralfunktion
und nicht die der Funktion selbst.

Lies meinen Text aufmerksamer, dann siehst du, dass ich immer von der Stetigkeit der Funktion  g aber nie von der der Funktion k gesprochen habe.

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Begründe mithilfe der Abbildung

Hier soll nicht gerechnet werden!

Die Fläche, die der Graph von k mit der x-Achse für  z ≤ x ≤ 5 begrenzt, liegt unterhalb der x-Achse. Der zugehörige Integralwert ist daher negativ. Die Fläche, die der Graph von k hingegen im Bereich 5 ≤ x ≤ z + 1 mit der x-Achse begrenzt, liegt oberhalb der x-Achse, wodurch der zugehörige Integralwert positiv ist. z kann so gewählt werden, dass die Flächeninhalte dieser beiden Flächen gleich sind und sich so bei der Berechnung des Integrals aufheben.

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