Normalverteilung, Stochastik

Question

 Hallo,

kann mir jemand vlt. bei dieser Aufgabe helfen ?

Aufgabe:

An einem Standort produziert eine Maschine Schrauben. Diese sollen eine Länge von 12 mm haben. Die Länge dieser Schrauben ist normalverteilt mit dem Erwartungswert u = 12 mm und mit der Standardabweichung o = Für den Verkauf dürfen die Schrauben von den geforderten 12 mm um maximal 2 % abweichen. 0,3 mm.

1. Ermitteln Sie den zu erwartenden Anteil an Schrauben, deren Länge innerhalb der genannten Toleranz von 2 % liegt.

Der Anteil an Schrauben, deren Länge innerhalb der Toleranz von 2 % liegt, soll auf 75 % vergrößert werden. Dazu wird der Produktionsprozess so optimiert, dass die Standardabweichung sinkt.

 2. Weisen Sie nach, dass eine Senkung der Standardabweichung von 0,3 mm auf 0,25 mm nicht genügt, um das gesetzte Ziel zu erreichen.

3. Einer Formelsammlung ist der folgende Zusammenhang zu entnehmen: Für jede normalverteilte Zufallsgröße X gilt:

P Erwartungswert, Sigma (M- 1,15 . Sigma <X<M+1,15. Sigma)= 0,75

 Bestimmen Sie mithilfe dieses Sachverhalts einen geeigneten Wert für die neue Standardabweichung.

Ansatz für 1:

P(11,98<x<12,02)= 0,0531

Bin mir aber nicht sicher, ob es richtig ist.

Nr. 2 und 3 weiß ich nicht, wie ich die lösen soll.

Answer 1

Aloha :)

Aus der Aufgabenstellung sammeln wir folgende Informationen für die Normalverteilung:$$\mu=12\,mm\quad;\quad\sigma_1=0,3\,mm$$

1) \(2\%\) von \(12\,mm\) sind \(0,24\,mm\). Die Länge soll also im Bereich \([11,76|12,24]\,mm\) liegen. Das rechnen wir aus, indem wir die gegebene Normalverteilung auf die Standard-Normalverteilung \(\Phi\) transformieren:

$$P(11,76\le d\le12,24)=P(d\le12,24)-P(d<11,76)$$$$\quad\Phi\left(\frac{12,24-\mu}{\sigma_1}\right)-\Phi\left(\frac{11,76-\mu}{\sigma_1}\right)=\Phi(0,8)-\Phi(-0,8)$$$$\quad=0,788144-0,211855=57,63\%$$

2) Das ist dieselbe Rechnung nochmal mit \(\sigma_2=2,5\):

$$P(11,76\le d\le12,24)=P(d\le12,24)-P(d<11,76)$$$$\quad\Phi\left(\frac{12,24-\mu}{\sigma_2}\right)-\Phi\left(\frac{11,76-\mu}{\sigma_2}\right)=\Phi(0,96)-\Phi(-0,96)$$$$\quad=0,831472-0,168528=66,29\%<75\%$$

3) Die Untergrenze für \(2\%\)-Toleranz ist \(11,76\,mm\). In der Aufgabenstellung steht, dass diese Untergrenze gleich \(\mu-1,15\sigma_3\) sein muss, damit der Anteil guter Schrauben bei \(75\%\) liegt. Wenn die uns das schon verraten, können wir damit auch die benötigte Standardabweichung \(\sigma_3\) bestimmen:$$\mu-1,15\,\sigma_3=11,76$$$$12-1,15\,\sigma_3=11,76$$$$0,24=1,15\sigma_3$$$$\sigma_3=\frac{0,24}{1,15}=0,2087\,mm$$

Answer 2

1)

NORMAL((12·1.02 - 12)/0.3) - NORMAL((12·0.98 - 12)/0.3) = 0.5763

2)

NORMAL((12·1.02 - 12)/0.25) - NORMAL((12·0.98 - 12)/0.25) = 0.6629

3)

12 + 1.15·σ = 12·1.02 --> σ = 0.2087