Aloha :)
Aus der Aufgabenstellung sammeln wir folgende Informationen für die Normalverteilung:μ=12mm;σ1=0,3mm
1) 2% von 12mm sind 0,24mm. Die Länge soll also im Bereich [11,76∣12,24]mm liegen. Das rechnen wir aus, indem wir die gegebene Normalverteilung auf die Standard-Normalverteilung Φ transformieren:
P(11,76≤d≤12,24)=P(d≤12,24)−P(d<11,76)Φ(σ112,24−μ)−Φ(σ111,76−μ)=Φ(0,8)−Φ(−0,8)=0,788144−0,211855=57,63%
2) Das ist dieselbe Rechnung nochmal mit σ2=2,5:
P(11,76≤d≤12,24)=P(d≤12,24)−P(d<11,76)Φ(σ212,24−μ)−Φ(σ211,76−μ)=Φ(0,96)−Φ(−0,96)=0,831472−0,168528=66,29%<75%
3) Die Untergrenze für 2%-Toleranz ist 11,76mm. In der Aufgabenstellung steht, dass diese Untergrenze gleich μ−1,15σ3 sein muss, damit der Anteil guter Schrauben bei 75% liegt. Wenn die uns das schon verraten, können wir damit auch die benötigte Standardabweichung σ3 bestimmen:μ−1,15σ3=11,7612−1,15σ3=11,760,24=1,15σ3σ3=1,150,24=0,2087mm