Berechne die Schnittpunkte von g und K

Question

Aufgabe:

Berechne die Schnittpunkte von g: y=2x-3 und K: x²−6x+y²+4y=12.   

Answer 1

Aloha :)

Beim Schnittpunkt \((x|y)\) müssen beide Gleichungen erfüllt sein. Daher können wir die Geradengleichung \(g:\,y=2x-3\) als erfüllt voraussetzen und in die Gleichung für \(K\) einsetzen.$$\left.x^2-6x+y^2+4y=12\quad\right|\;+4$$$$\left.x^2-6x+(y^2+4y+4)=16\quad\right|\;\text{1. binomische Formel}$$$$\left.x^2-6x+(y+2)^2=16\quad\right|\;y=2x-3\text{ einsetzen}$$$$\left.x^2-6x+(2x-3+2)^2=16\quad\right|\;\text{ausrechnen}$$$$\left.x^2-6x+(2x-1)^2=16\quad\right|\;\text{2. binomische Formel}$$$$\left.x^2-6x+4x^2-4x+1=16\quad\right|\;\text{zusammenfassen}$$$$\left.5x^2-10x+1=16\quad\right|\;-16$$$$\left.5x^2-10x-15=0\quad\right|\;:5$$$$\left.x^2-2x-3=0\quad\right|\;\text{Faktorzerlegung mit }(-3)+1=-2\text{ und }(-3)\cdot1=-3$$$$\left.(x-3)(x+1)=0\quad\right.$$Wir haben also die Lösungen \(x=3\) und \(x=-1\). Mit \(y=2x-3\) bekommen wir die passenden \(y\)-Werte dazu:$$P_1(3|3)\quad;\quad P_2(-1|-5)$$

Answer 2

y=2x-3
 x^2−6x+y^2+4y=12   
x^2 - 6x + ( 2x-3)^2 + 4(2x-3) = 12
x^2 - 6x + 4x^2 - 12x + 9 + 8x - 12 = 12
5x^2 - 10x = 15  | * 5
x^2 - 2x = 3
x^2 - 2x + 1 = 4
( x - 1 )^2 = 4
x -1 = ± 2
x = 3
x = -1