Volumen eines Körpers berechen

Question

Berechnen Sie das Volumen von

$M=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} | 0 \leq z \leq 4-\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\}$.

In der Lösung wird dafür ein zweidimensionales Integral benutzt, ich verstehe allerdings nicht, warum. Bei der Berechnung eines Volumens muss man doch stets mit dreidimensionalen Integralen arbeiten, oder nicht?

Comments

Eine Fläche berechnet man mit einem eindimensionalen Integral oder?
Für ein Volumen könnte daher doch ein zweidimensionales Integral langen oder?

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Okay, danke erst einmal, mathecoach; machmal werden für Volumina aber auch 3-dimensionale Integrale verwendet. Woher weiß man, wann was angesagt ist?

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Okay, danke erst einmal, mathecoach; machmal werden für Volumina aber auch 3-dimensionale Integrale verwendet.

Geht es dann nur um ein Volumen oder geht es um eine Gesamtmasse?

Answer 1

Aloha :)

Zu der Musterlösung kann ich leider nichts sagen, weil du sie nicht gepostet hast. Du hast nämlich Recht, um ein Volumen zu bestimmen sollte man auch über 3 Dimensionen integrieren. Es sei denn, es werden irgendwelche Symmetrien ausgenutzt.

Wegen $0\le z\le 4-(x^2+y^2)$ gilt insbesondere $0\le4-(x^2+y^2)$ bzw. $(x^2+y^2)\le4$. Die $x$- und $y$-Koordinaten beschreiben also eine Kreisfläche mit Mittelpunkt $(0|0)$ und Radius $r\le2$. Die $z$-Komponente ist dann $z\in[0|4-r^2]$. Daher bieten sich im Folgenden Zylinerkoordinaten an:$$\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{c}r\,\cos\varphi\\r\,\sin\varphi\\z\end{array}\right)\quad\;\quad r\in[0;2]\;\;;\;\;\varphi\in[0;2\pi]\;\;;\;\;z\in[0;4-r^2]$$Wichtig ist beim Wechsel der Koordinaten auch der Wechsel des Volumenelements:$$dV=dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\varphi\,dz$$Damit ist nun:$$V=\int\limits_0^2 r\,dr\underbrace{\int\limits_0^{2\pi}d\varphi}_{=2\pi}\underbrace{\int\limits_0^{4-r^2}dz}_{=4-r^2}=2\pi\int\limits_0^2r(4-r^2)dr=2\pi\int\limits_0^2(4r-r^3)dr$$$$\phantom{V}=2\pi\left[2r^2-\frac{r^4}{4}\right]_0^2=2\pi\left(8-4\right)=8\pi$$

Comments

Vielen, vielen Dank, du rettest mir erneut das Leben :) <3