Arithmetische zahlenfolge

Question

Aufgabe:

die summe der erstens vier Glieder einer arithmetischen Folge beträgt 62. Die summe der ersten 10 Glieder beträgt 365…Bestimme die Folge!

Problem/Ansatz:

Habe leider keine Ahnung wie ich vorgehen soll und wäre sehr dankbar um Hilfe

Answer 1

a+(a+d)+(a+2d)+(a*3d) = 62

a+(a+d)+(a+2d)+(a*3d) + (a+4d) + ... +(a+9d) =365

Löse dieses Gleichungssystem.

(Vereinfache vorher die linken Seiten beider Gleichungen durch Zusammenfassen.)

Comments

Vielen Dank.. wie kann ich das vereinfachen.. entschuldige tu mich echt schwer damit

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Fasse die a's und die Vielfachen von d zusammen.

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Wäre das dann 4a+7d?

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4a stimmt. 7d liegt knapp daneben.

Wenn du korrigiert hast: Gleiches Spiel bei der zweiten Gleichung...

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6d natürlich :)

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Nach welcher Variable löse ich dann das Gleichungssystem?

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Bei einem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen hat man nach erfolgreicher Lösung beide Variablen berechnet.

a sagt dir das erste Folgenglied, d sagt dir, um wie viel jedes nächste Glied größer ist.

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Danke jetzt hab ichs☺️

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Das freut mich!

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Kannst Du zufällig hier auch helfen?

Bis zu welchem glied muss man die Folge 4,8,12,16,20 fortsetzen, damit die Summe der Glieder 1200 beträgt?

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bis zum 25.Glied. $a_{25}=100$

es ist das 24. - siehe unten

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Könntest du mir auch den rechenweg erklären?

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Die Folgenglieder sind doch 4*1, 4*2, 4*3  , usw.

Die Summe der ersten  n Folgenglieder ist 4*(1+2+3+...+n).

Ich hoffe, du kennst die Gaußsche Summenformel.

4*(1+2+3+...+n)=4*n*(n+1)/2 = 2n(n+1), und das soll 1200 werden.

Löse also 2n(n+1) = 1200.

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Könntest du mir auch den rechenweg erklären?

Ja ;-)

Ist $a_1=4$ so ist $a_k=4 \cdot k$. Die Summe $S_n$ von $n$ Gliedern $a_k$ ist $$S_n = \sum_{k=1}^n 4k = 4 \sum_{k=1}^n k = 4 \cdot \frac n2 (n+1)$$Ist $S_n=1200$ so ist$$\begin{aligned} 2n(n+1) &= 1200 \\ n^2 + n - 600 &= 0 \\ \implies n_{1,2} &= -\frac 12 \pm \sqrt{\frac 14 + 600} \\ &= -\frac 12 \pm \frac{49}2\end{aligned}$$die negative Lösung entfältt, bleibt $n=24$ und $a_{24} = 4 \cdot 25 = 96$

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@Werner

Du hast in der letzten Zeile der Rechnung ein Minuszeichen vergessen.

-0,5+24,5=24

n=24

a_24=96

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@MontyPython: stimmt - ist korrigiert. Ich hatte sogar die Probe gemacht und bei der Probe auch noch statt $(n+1)$ mit $(n-1)$ gerechnet!

Answer 2

Die Summe der ersten und 10. Zahl beträgt 365/5=73=a_1+a_10.

Die Summe der ersten und vierten Zahl beträgt 62/2=31=a_1+a_4.

Die Differenz der 10. und 4. Zahl ist 73-31=42=(10-4)d=6d → d=7

a_4=a_1+3d = a_1+21 → a_1+a_4=2a_1+21=31 → a_1=5

Comments

Ich glaube, du erklärst hier die falsche Aufgabe.

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@abakus:

$a_n=5+7\cdot n ~~~;~~~ n\in \mathbb N$

ist die Lösung dieser Aufgabe.