Aloha :)
a) Formel für Abstand aufstellen
Wenn die Schranke ein Stück \(h\) angehoben ist, bildet sich ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse ist die Schranke selbst, die eine Kathete ist die Höhe \(h\) und die andere Kathete ist das Stück, das wir von der Gesamtlänge \(l\) der Schranke abziehen müssen, um das Stück \(b\) zu erhalten. Ich kann das leider nicht gut zeichnen, weil ich mich mit den Programmen dazu bisher nicht beschäftigt habe. Daraus ergibt sich die Formel:$$b=l-\sqrt{l^2-h^2}$$
b) Näherungsformel bis zur 2-ten Ordnung$$b=l-l\sqrt{1-\frac{h^2}{l^2}}=l-l\sqrt{1-\left(\frac{h}{l}\right)^2}$$Wir entwickeln \(f(x)=\sqrt{1-x^2}=(1-x^2)^{1/2}\) in eine Talorreihe bis zur 2-ten Ordnung:
$$f'(x)=\frac{1}{2}(1-x^2)^{-1/2}\cdot(-2x)=-x(1-x^2)^{-1/2}\;\;\Rightarrow\;\;f'(0)=0$$$$f''(x)=-(1-x^2)^{-1/2}-x\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)(1-x^2)^{-3/2}\cdot(-2x)\;\;\Rightarrow\;\;f''(0)=-1$$$$f(x)\approx f(0)+f'(0)\cdot x+\frac{1}{2}f''(0)\cdot x^2=1-\frac{1}{2}x^2$$Die gesuchte Näherungsformel ist also:$$b\approx l-l\left(1-\frac{1}{2}\left(\frac{h}{l}\right)^2\right)=l-l+\frac{l}{2}\frac{h^2}{l^2}=\frac{h^2}{2l}$$
