Lösen einer Differentialgleichung mit cosh

Question

Betrachten Sie die Differ entialgleichung für \( f(x) \)
$$ f^{\prime}(x)=-(1+f(x)) \cosh (x) $$
a) Was war \( \cosh (x) ? \)
b) Lösen Sie die DGL, indem Sie die Trennung der Variablen verwen den.
c) Lösen Sie nun das Anfangswertproblem mit \( f(0)=0 \)

Mein Ansatz:

a) cosh (x) = \( \frac{1}{2} \)  (\( e^{x} \)+\( e^{-x} \))

b) f'(x) = -(1+f(x)) cosh (x)

<=> \( \frac{dy}{dx} \) = -(1+y) * cosh (x)   | *dx

<=> dy = -(1+y) * cosh (x) dx  | :(-(1+y))

<=> \( \frac{1}{-(1+y)} \) dy = cosh (x) dx  | ∫ ( )

<=> -ln(|y+1|)+c₁ = sinh (x) + c₂   | -c₁

<=> -ln(|y+1|) = sinh (x) + c  | e^{( )}

<=> \( \frac{1}{|y+1|} \) =

Weiter komme ich leider nicht

Für Hilfestellungen wäre ich sehr dankbar!

Answer 1

<=> -ln(|y+1|) = sinh (x) + c  | *(-1)

<=> ln(|y+1|) = -sinh (x) - c

<=>  | y+1| = e^(-sinh (x) - c)

<=>  |y+1 = e^(-sinh (x) - c)  oder y+1 = -e^(-sinh (x) - c)

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Für Aufgabenteil c) muss ich nun lediglich 0 für y und 0 für x einsetzen, dann nach c auflösen und dieses c für das c aus dem Ergebnis von b) einsetzen oder?

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Ja, so müsste es klappen.

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Ich habe die b) jetzt wie folgt bei mir stehen, komme aber dadurch bei Aufgabe c) nicht auf ein Ergebnis:

b) f'(x) = -(1+f(x)) cosh (x)
<=> \( \frac{dy}{dx} \) = -(1+y) * cosh (x)  | *dx
<=> dy = -(1+y) * cosh (x) dx  | :(-(1+y))
<=> \( \frac{1}{-(1+y)} \) dy = cosh (x) dx  | ∫ ( )
<=> -ln(|y+1|)+c1 = sinh (x) + c2  | -c1
<=> -ln(|y+1|) = sinh (x) + c  | *(-1)

<=> ln(|y+1|) = -sinh (x) - c  | e^{( )}

<=> |y+1| = e^{-sinh (x) - c} 

<=> y+1 = -e^{-sinh (x) - c}  | -1

<=> y = -e^{-sinh (x) - c}  - 1    <--- Lsg meiner DGL

c) Hier komme ich leider erneut nicht weiter, mein Ansatz:

f(0)=0

also:

0 = -e^{-sinh (0) - c} - 1  | -sinh (0) = 0

<=> 0 = -e^-c - 1  | +1

<=> 1 = -e^-c  | : (-1)

<=> -1 = e^-c  |  ln ( )

Hier müsste ich um das -c aus dem Exponenten zu holen den natürlichen Logarithmus anwenden, allerdings ist die bei -1 nicht möglich

Für einen weiteren Tipp wäre ich wirklich sehr dankbar!