Question

Gib die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion des Typs f(x)=a*b^x+c an, deren Graph folgende Eigenschaften aufweist:

Die Gleichung der Asymptote lautet y=-2

Der Graph steigt für alle x

S(0|-5,1) ist ein Punkt des Graphen

Wie mache die die Aufgabe?

Danke  im Voraus

Answer 1

Aloha :)

Gesucht: $f(x)=a\cdot b^x+c$

Die Asymptote ist $y=-2$. Da bei der Asymptote der Exponential-Anteil zu Null wird, ist $c=-2$.

Aus dem Punkt $S(0|-5,1)$ folgt:$$-5,1=f(0)=a+c=a-2\;\Rightarrow\;a=-3,1$$Der Graph steigt für alle $x$, d.h. die Ableitung ist immer positiv:$$f'(x)=a\cdot\ln b\cdot b^x>0\quad\stackrel{a<0}{\Rightarrow}\quad \ln b<0\quad\Rightarrow\quad b\in]0;1[$$Durch die unendliche Anzahl an Möglichkeiten für die Wahl von $b$, gibt es auch unendlich viele Funktionen, die die Bedingungen erfüllen:$$f(x)=-3,1\cdot b^x-2\quad;\quad b\in]0|1[$$

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f₁(x) = -3,1·0,5^x-2f₂(x) = -3,1·0,3^x-2f₃(x) = -3,1·0,1^x-2Zoom: x(-2…5) y(-20…0)