Beweis mit Riemann-Integral.

Question

Hallo alle miteinander,

Leider komme ich mit a) und b) gar nicht weiter. Hätte jemand vielleicht ein Tipp für mich oder könnten wir die Lösung eventuell zusammen erarbeiten?

Seien $a<b$ und $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ Riemann-integrierbar. Zeigen Sie:
a) Die Funktion $(-f):[a, b] \rightarrow \mathbb{R},(-f)(x):=-f(x),$ ist Riemann-integrierbar und es gilt
$$\int \limits_{a}^{b}(-f)(x) d x=-\int \limits_{a}^{b} f(x) d x$$
b) Die Funktion $(f+g):[a, b] \rightarrow \mathbb{R},(f+g)(x):=f(x)+g(x),$ ist Riemann-integrierbar und es gilt
$$\int \limits_{a}^{b}(f+g)(x) d x=\int \limits_{a}^{b} f(x) d x+\int \limits_{a}^{b} g(x) d x$$

Answer 1

Hallo,

wir schlagen zwei fliegen mit einer Klappe. Um beide gleichzeitig zu beweisen, genügt es zu zeigen, dass für $\alpha \in \mathbb{R}$ dann $\alpha f +g \in \mathscr{R}(I)$ ist und zusätzlich $\int (\alpha f+g)=\alpha \int f+\int g$ gilt. Ohne Einschränkungen können wir annehmen, dass $\alpha \neq 0$ gilt.

Beweis:

Sei $\varepsilon >0$, wähle $\delta_ f, \delta _ g>0$ für die Funktion $f$ mit $\varepsilon_1 =\frac{\varepsilon}{2|\alpha|}$ und für $g$ mit $\varepsilon =\frac{\varepsilon}{2}$. Weiter ist $Z=\{x_0,...,x_n\}$ eine beliebige Zerlegung von $I$ mit $\delta (Z)<\delta :=\min \{\delta _f ,\delta_g\}$. Seien weiter $\xi _k \in [x_{k-1}, x_k]$ mit $k=1,...,n$ beliebig. Dann gilt:$$\left |\alpha \int f +\int g -\sum \limits_{k=1}^{n}(\alpha f(\xi_k)+g(\xi_k))(x_k-x_{k-1}) \right |\leq \left | \alpha \int f-\alpha \sum_{k=1}^{n}{f(\xi _k)(x_k-x_{k-1})}\right |+\left |\int g -\sum_{k=1}^{n}{g(\xi _k)(x_k-x_{k-1})}\right |\leq |\alpha|\cdot \frac{\varepsilon}{2|\alpha|}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$ Der Beweis beruht also auf dem Fakt, dass die Riemann-Summe dem tatsächlichen Wert des Integrals, bei sehr hoher Feinheit $\delta$ der Zerlegung $Z$, beliebig nahe kommt.

Comments

 Danke erstmal für deine schnelle Antwort, da wir leider die Epsilon Definition noch nicht eingeführt haben kann ich es nicht anwenden. Jedoch habe ich einige Ansätze und hoffe das diese so richtig sind .

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Was bedeutet, dass man $\alpha$ ohne Einschränkungen $\alpha \neq 0$ annehmen kann?