Seien(an) und (bn) zwei reelle Zahlenfolgen. (cn) alterniert zwischen (an) und (bn). Konvergenz?

Question

Seien \( \left(a_{n}\right) \) und \( \left.b_{n}\right) \) zwei reelle Zahlenfolgen. Zeigen Sie, dass die durch \( c_{2 n-1}: a_{n} \) und \( c_{2 n}=b_{n} \) definierte Folge \( \left(c_{n}\right) \) genau dann konvergiert, wenn die Folgen \( \left(a_{n}\right) \) und \( \left(b_{n}\right) \) konvergieren und denselben Grenzwert haben.

Answer 1

also die eine Richtung ist ja ziemlich klar:

Seien dazu \( a_n \) und \( b_n \) konvergent mit demselben Grenzwert \( c \), das heißt existiere für alle \( \epsilon > 0 \) ein \( N \in \mathbb{N} \), sodass \( | a_n - c | < \epsilon \) und \( | b_n - c | < \epsilon \) für alle \( n \geq N \) gilt. Dann gilt dies auch für die alternierende Folge \( c_n \): \( | c_n - c | < \epsilon \) für alle \( n \geq N \).

Sei auf der anderen Seite \( c_n \) konvergent mit dem Grenzwert \( c \). Da Teilfolgen konvergenter Folgen wieder konvergent sind, konvergieren \( a_n \) und \( b_n \) als Teilfolgen von \( c_n \) gegen \( c \), das natürlich auch Grenzwert für jede Teilfolge ist.

MfG

Mister