Aloha :)
$$f(x,y)=4x^3-12x^2+3xy^2$$$$\binom{\partial_x f}{\partial_y f}=\binom{12x^2-24x+3y^2}{6xy}\stackrel{!}{=}\binom{0}{0}\quad\Rightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}y^2=-4x^2+8x\\x=0\;\lor y=0\end{array}\right.$$Mit \(x=0\) wird auch \(y^2=0\), das liefert den Kandidaten \((0|0)\).
Mit \(y=0\) wird \(-4x^2+8x=4x(2-x)=0\), das liefert \(x=0\) und \(x=2\). Den Kandiaten \((0|0)\) haben wir schon, neu hinzu kommt der Kandidaten \((2|0)\).
Zur Bewertung der Extrema benötigen wir die Hesse-Matrix:$$H(x,y)=\left(\begin{array}{c}\partial_{xx}f & \partial_{xy}f\\\partial_{yx}f & \partial_{yy}f\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24x-24 & 6y\\6y & 6x\end{array}\right)$$
Kandidat \((0|0)\):$$H(0,0)=\left(\begin{array}{c}-24 & 0\\0 & 0\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad EW=0,-24\quad\Rightarrow\quad\text{kein Extremum}$$
Kandidat \((2|0)\):$$H(2,0)=\left(\begin{array}{c}24 & 0\\0 & 12\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad EW=12,24\quad\Rightarrow\quad\text{Minimum}$$
Die Funktion hat ein lokales Minimum bei \((2|0)\).
Hinweis: Bei jeder quadratischen Matrix ist die Summe der EW gleich der Spur und das Produkt der Eigenwerte gleich der Determinante. Bei einer 2x2-Matrix kann man damit die EW sehr schnell bestimmen. Man sucht 2 Zahlen, deren Summe gleich der Spur und deren Produkt gleich der Determinane ist.
