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Hallo, Ich brauch Hilfe...

Wir betrachten die reellen Vektorräume R3 \mathbb{R}^{3} und R2 \mathbb{R}^{2} mit den Basen
B : ={(102),(310),(211)} und C : ={(12),(01)} B:=\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\right\} \quad \text { und } \quad C:=\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right)\right\}
Gegeben sei die Abbildung f : R3R2 f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} mit
f(x,y,z) : =(3x+2y+zyx+2z) f(x, y, z):=\left(\begin{array}{c} 3 x+2 y+z \\ y-x+2 z \end{array}\right)
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix FCB(f). F_{C}^{B}(f) . Geben Sie insbesondere ein kommutatives Diagramm an, das den Sachverhalt und Ihre Rechnung verdeutlicht.

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Wie mach ich vor allem ein kommutatives Diagramm?

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Aloha :)

Wir schreiben die Abbildung ff zunächst als Matrix FE2E3F_{E_2}^{E_3} bezüglich den Standardbasen E2E_2 und E3E_3:f(x,y,z)=(3x+2y+zyx+2z)=(31)x+(21)y+(12)z=(321112)=FE2E3(xyz)f(x,y,z)=\binom{3x+2y+z}{y-x+2z}=\binom{3}{-1}x+\binom{2}{1}y+\binom{1}{2}z=\underbrace{\left(\begin{array}{c}3 & 2 & 1\\-1 & 1 & 2\end{array}\right)}_{=F_{E_2}^{E_3}}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}Diese Abbildungsmatrix soll nun so transformiert werden, dass sie Eingangsgrößen bezüglich der Basis BB akzeptiert und Ausgangsgrößen bezüglich der Basis CC liefert. Gesucht ist also FCBF_C^B. Die Übergangsmatrizen beider Basen in die jeweilige Standardbasis erhalten wir, indem wir die Basisvektoren als Spalten in eine Matrix schreiben:idE3B=(132011201);idE2C=(1021)\operatorname{id}_{E_3}^B=\left(\begin{array}{c}1 & 3 & 2\\0 & 1 & 1\\2 & 0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad\operatorname{id}_{E_2}^C=\left(\begin{array}{c}1 & 0\\2 & 1\end{array}\right)Beim Zusammenbau der folgenden Transformation musst du darauf achten, dass die Ausgabebasis der rechten Matrix zur Eingabebasis der linken Matrix passt. Wegen der Notation AAusgabe-BasisEingabe-BasisA_{\text{Ausgabe-Basis}}^{\text{Eingabe-Basis}} kann man sich merken: "Was rechts unten rausfällt, muss links oben reinpassen.":

FCB=idCE2FE2E3idE3B=(idE2C)1FE2E3idE3BF_C^B=\operatorname{id}_C^{E_2}\cdot F_{E_2}^{E_3}\cdot\operatorname{id}_{E_3}^B=\left(\operatorname{id}_{E_2}^C\right)^{-1}\cdot F_{E_2}^{E_3}\cdot\operatorname{id}_{E_3}^BDie Transformationsmatrix idCE2\operatorname{id}_C^{E_2} fehlt uns, was aber nicht schlimm ist, weil wir sie durch Invertierung der Matrix idE2C\operatorname{id}_{E_2}^C berechnen können. Damit haben wir schließlich:

FCB=(1021)1(321112)(132011201)=(1021)(5119321)F_C^B=\left(\begin{array}{c}1 & 0\\2 & 1\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}3 & 2 & 1\\-1 & 1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 3 & 2\\0 & 1 & 1\\2 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0\\-2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5 & 11 & 9\\3 & -2 & 1\end{array}\right)FCB=(511972417)F_C^B=\left(\begin{array}{c}5 & 11 & 9\\-7 & -24 & -17\end{array}\right)

In dem Diagramm würde ich die durchgeführte Transformation darstellen:BidE3BE3FE2E3E2idCE2CB\stackrel{\operatorname{id}^B_{E_3}}\to E_3\stackrel{F_{E_2}^{E_3}}\to E_2 \stackrel{\operatorname{id}^{E_2}_C}\to CDa weiß ich allerdings nicht, welche Notation ihr im Unterricht verwendet habt. Habt ihr auch den Rückweg beschrieben?

Avatar von 153 k 🚀

Wie würde denn das aussehen mit dem Rückweg?

Du musst immer darauf achten, dass die Basis, die unten rausfällt, bei der nächsten Operation oben rein passt:CidE2CE2(FE2E3)1E3idBE3BC\stackrel{\operatorname{id}^C_{E_2}}\to E_2\stackrel{(F_{E_2}^{E_3})^{-1}}\to E_3 \stackrel{\operatorname{id}^{E_3}_B}\to BWichtig ist auch, dass du Eingang und Ausgang vertauschen kannst, indem du die Matrix invertierst, also z.B.(FE2E3)1=FE3E2\left(F_{E_2}^{E_3}\right)^{-1}=F_{E_3}^{E_2}

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Und wie mach ich das mit dem Diagramm?

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