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Hallo, Ich brauch Hilfe...

Wir betrachten die reellen Vektorräume \( \mathbb{R}^{3} \) und \( \mathbb{R}^{2} \) mit den Basen
$$ B:=\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\right\} \quad \text { und } \quad C:=\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right)\right\} $$
Gegeben sei die Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit
$$ f(x, y, z):=\left(\begin{array}{c} 3 x+2 y+z \\ y-x+2 z \end{array}\right) $$
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix \( F_{C}^{B}(f) . \) Geben Sie insbesondere ein kommutatives Diagramm an, das den Sachverhalt und Ihre Rechnung verdeutlicht.

von

Wie mach ich vor allem ein kommutatives Diagramm?

2 Antworten

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Aloha :)

Wir schreiben die Abbildung \(f\) zunächst als Matrix \(F_{E_2}^{E_3}\) bezüglich den Standardbasen \(E_2\) und \(E_3\):$$f(x,y,z)=\binom{3x+2y+z}{y-x+2z}=\binom{3}{-1}x+\binom{2}{1}y+\binom{1}{2}z=\underbrace{\left(\begin{array}{c}3 & 2 & 1\\-1 & 1 & 2\end{array}\right)}_{=F_{E_2}^{E_3}}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$Diese Abbildungsmatrix soll nun so transformiert werden, dass sie Eingangsgrößen bezüglich der Basis \(B\) akzeptiert und Ausgangsgrößen bezüglich der Basis \(C\) liefert. Gesucht ist also \(F_C^B\). Die Übergangsmatrizen beider Basen in die jeweilige Standardbasis erhalten wir, indem wir die Basisvektoren als Spalten in eine Matrix schreiben:$$\operatorname{id}_{E_3}^B=\left(\begin{array}{c}1 & 3 & 2\\0 & 1 & 1\\2 & 0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad\operatorname{id}_{E_2}^C=\left(\begin{array}{c}1 & 0\\2 & 1\end{array}\right)$$Beim Zusammenbau der folgenden Transformation musst du darauf achten, dass die Ausgabebasis der rechten Matrix zur Eingabebasis der linken Matrix passt. Wegen der Notation \(A_{\text{Ausgabe-Basis}}^{\text{Eingabe-Basis}}\) kann man sich merken: "Was rechts unten rausfällt, muss links oben reinpassen.":

$$F_C^B=\operatorname{id}_C^{E_2}\cdot F_{E_2}^{E_3}\cdot\operatorname{id}_{E_3}^B=\left(\operatorname{id}_{E_2}^C\right)^{-1}\cdot F_{E_2}^{E_3}\cdot\operatorname{id}_{E_3}^B$$Die Transformationsmatrix \(\operatorname{id}_C^{E_2}\) fehlt uns, was aber nicht schlimm ist, weil wir sie durch Invertierung der Matrix \(\operatorname{id}_{E_2}^C\) berechnen können. Damit haben wir schließlich:

$$F_C^B=\left(\begin{array}{c}1 & 0\\2 & 1\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c}3 & 2 & 1\\-1 & 1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 3 & 2\\0 & 1 & 1\\2 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0\\-2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5 & 11 & 9\\3 & -2 & 1\end{array}\right)$$$$F_C^B=\left(\begin{array}{c}5 & 11 & 9\\-7 & -24 & -17\end{array}\right)$$

In dem Diagramm würde ich die durchgeführte Transformation darstellen:$$B\stackrel{\operatorname{id}^B_{E_3}}\to E_3\stackrel{F_{E_2}^{E_3}}\to E_2 \stackrel{\operatorname{id}^{E_2}_C}\to C$$Da weiß ich allerdings nicht, welche Notation ihr im Unterricht verwendet habt. Habt ihr auch den Rückweg beschrieben?

von 81 k 🚀

Wie würde denn das aussehen mit dem Rückweg?

Du musst immer darauf achten, dass die Basis, die unten rausfällt, bei der nächsten Operation oben rein passt:$$C\stackrel{\operatorname{id}^C_{E_2}}\to E_2\stackrel{(F_{E_2}^{E_3})^{-1}}\to E_3 \stackrel{\operatorname{id}^{E_3}_B}\to B$$Wichtig ist auch, dass du Eingang und Ausgang vertauschen kannst, indem du die Matrix invertierst, also z.B.$$\left(F_{E_2}^{E_3}\right)^{-1}=F_{E_3}^{E_2}$$

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von

Und wie mach ich das mit dem Diagramm?

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