Steckbriefaufgabe: Ein Metallstab mit rechteckigem Querschnitt ist auf einer Seite [...] eingespannt.

Question

Hallo ich komme leider bei mit dieser aufgabe weiter.Leider haben wir kürzlich mit dem Thema Umkehraufgaben angefangen und da wir nur Fernunterricht habe kann ich die Aufgabe leider nicht lösen. Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Ein Metallstab mit rechteckigem Querschnitt ist auf einer Seite zwischen waagerechten Backen eingespannt.

In der Entfernung e = 1m von der Einspannstelle liegt der Stab lose auf.
Durch Belastung wird der Stab so gebogen, dass sein tiefster Punkt den Abstand a=0,06cm (Achtung: cm!) von der Verbindungslinie Einspannstelle - Auflagepunkt besitzt.

Legt man ein Koordinatensystem wie im Bild, so kann man die Form des gebogenen Stabes (Biegelinie) rechts von den Backen näherungsweise durch den Graph einer ganzrationalen Funktion f 4. Grades angeben. Aus physikalischen Gründen muss für die Näherungsfunktion f gelten: f''(0) = 0.

Wichtiger Hinweis: Interpretiert man die Gleichungen f(0)=f'(0)=f''(0)=0 richtig, so erhält im Polynom 4. Grades nur mehr 2 Koeffizienten unbekannt.

Diesmal ist kein lineares Gleichungssystem zu lösen. Vielmehr ist aus den restlichen Gleichungen f(x_E)=-{a}, f'(x_E)=0 und f(1)=0 zunächst die Stelle für den Extremwert und damit den Koeffizienten von x4 ermitteln. (Genauigkeit: 2 Stellen hinter dem Komma)

Comments

Oh. Diese Aufgabe muss ich anschließend auch berechnen. Warte auf die Antwort...

Answer 1

Hallo Maximilian,

aus \(f(0)=f'(0)=f''(0)=0 \) folgt doch bereits $$f(x)=k_4x^4 + k_3x^3 $$ und mit \(f(1)=0\) kann man schreiben$$f(1) = k_4 + k_3 = 0 \implies k_3=-k_4$$Jetzt noch den Extremwert \(x_E\)  bestimmen, der nicht bei 0 liegt$$f'(x_E) = 4k_4x_E^3 + 3k_3x_E^2 = 0, \quad x_E \ne 0 \\ \implies x_E= - \frac{3k_3}{4k_4} = \frac 34 $$Und nun allles in \(f(x_E)=-a\) einsetzen$$k_4 \left( \frac 34\right)^4 - k_4\left( \frac 34\right)^3 = -a$$alles klar?

~plot~ 0.9481*(x^4-x^3);[[-1|2|-0.5|0.5]] ~plot~

(für a = 0,1)

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Danke für die Antwort.

Und der Koeffizient von x⁴ wäre dann? Sorry der Nachfrage

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Und der Koeffizient von x⁴ wäre dann?

Interessante Frage! da wäre ich wegen Betriebsblindheit nicht drauf gekommen ;-)

Weißt Du was ein Koeffizient ist? Fragen wir mal Tante Google:

Koeffizient. Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, bestehend aus einer Zahl und einer Unbekannten, die oft mit dem Kleinbuchstaben x bezeichnet wird. Die Zahl vor der Unbekannten wird auch als Koeffizienten bezeichnet.

Der Koeffizient von \(x^4\) ist also das, was vor \(x^4\) steht. Ich habe das extra mit \(k_4\) bezeichnet. \(k\) für Koeffizient und die \(4\), weil es vor \(x^4\) steht.

Oder weißt Du evt. nicht, wie man diese Gleichung löst $$k_4 \left( \frac 34\right)^4 - k_4\left( \frac 34\right)^3 = -a$$ ??

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wenn es darauf hinausläuft:$$\begin{aligned}k_4 \left( \frac 34\right)^4 - k_4\left( \frac 34\right)^3 &= -a \\ k_4 \left( \frac 34\right)^3 \cdot \left( \frac 34 -1\right) &= -a \\ k_4 \left( \frac 34\right)^3 \cdot \left(-\frac 14\right) &= -a \\ k_4 &= \frac{4^4}{3^3}a \approx 9,481 a \end{aligned}$$

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Was ein Koeffizient ist weiß ich auch aber ist dann die lösung(3/4)⁴

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weil 9,461 ist leider Falsch

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aber ist dann die lösung(3/4)⁴?

Nein - wieso sollte sie?

weil 9,461 ist leider Falsch

ich favorisiere \(\frac{4^4}{3^3} a = \frac{256}{27}a\)

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Das ergebniss muss eine Zahl ohne unbekannte sein

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(Genauigkeit: 2 Stellen hinter dem Komma)

Wenn Du das in irgendeinen dummen Automaten eingeben musst, so ist die "Lösung" wahrscheinlich \(9,48\)

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Eben nicht das habe ich schon probiert

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halt nein - steht ja in der Aufgabe: a = 0,06cm. Das wären 0,0006m und dann wird \(k_4 = \frac{256}{27} \cdot 0,0006 \approx 0,00568889\) mit 2 Stellen hinter dem Komma wäre das aber \(0,01\) - Stimmt \(a=0,06 \text{cm}\)?

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ja stimmt danke für deine Hilfe

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D.h. 0,01 wäre dann die "Lösung"? - immerhein ein Fehler von ca. 78% !? Komische Aufgabe!

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Die Antwort war 0,00006m

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Die Antwort war 0,00006m

das \(\text m\) ist falsch. Wenn schon mit  Einheit, dann hat \(k_4\) die Einheit \(\text m^{-3}\).

Ansonsten soll man das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma runden!