Sei K ein Körper. Beh. Ein LGS ist lösbar genau denn, wenn rang(a1, a2, ..., an) = rang(a1, a2,...an, b)

Question

Sei $K$ ein Körper. Seien $m, n \in \mathbb{N}$, und $a_{i j}, b_{i} \in K$ für $1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n$. Wir betrachten das lineare Gleichungssystem

$\begin{array}{ccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \ldots & + & a_{1 n} x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \ldots & + & a_{2 n} x_{n} & = & b_{2} \\ \vdots & & \vdots & & & & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \ldots & + & a_{m n} x_{n} & = & b_{m} \end{array}$

und definieren dazu Spaltenvektoren $v_{1}, \ldots, v_{n}$ und $b$ wie folgt:

$v_{i}=\left|\begin{array}{c} a_{1 i} \\ a_{2 i} \\ \vdots \\ a_{m i} \end{array}\right| \in K^{m} \text { für } i \in\{1, \ldots, n\} \text { und } b=\left|\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{array}\right| \in K^{m} .$

Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(i) Das Gleichungssystem $(*)$ ist lösbar.

(ii) $\operatorname{Rang}\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)=\operatorname{Rang}\left(v_{1}, \ldots, v_{n}, b\right)$.

(iii) $b \in\left\langle v_{1}, \ldots, v_{n}\right\rangle$.

Hinweis. Es genügt, zu zeigen: (i) $\Leftrightarrow$ (iii), (iii) $\Rightarrow$ (ii) und (ii) $\Rightarrow$ (iii).
Bitte wenden!