Berechne die Matrix A^2020

Question

Aufgabe: Betrachte die Mat : \( \begin{pmatrix} 7 & -16 & 23 \\ 0 & -1 &1  \\ -2 & 4 & 6 \end{pmatrix} \)

Berechne die Mat A^2020

Leider komme ich hier nicht klar, ich würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte.

LG, CM

Comments

Hallo,

ohne es nachgerechnet zu haben: Eventuell geht es um die Diagonalisierung von A. Dazu brauchst du alle Eigenwerte und zu jedem Eigenwert eine Basis des Eigenraums - wenn vorhanden. Das müsstest Du mal nachrechnen.

Vorab lohnt es sich vielleicht, mal die Produkte AA, AAA, AAAA auszurechnen, um auszuschließen, dass hier eine speziell Trickmatrix vorliegt.

Oder habt Ihr im Umfeld dieser Aufgabe andere Themen besprochen.

Gruß

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Es ist mir ein Fehler unterlaufen!

Die Mat. lautet : \( \begin{pmatrix} 7 & -16 & 23 \\ 0 & -1 & 1 \\ -2 &4 &-6\end{pmatrix} \)

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@MathePeter wir haben erst mit der diagonalisierung begonnen und ich nehme an ich soll das auch so lösen, aber irgendwie konne ich nicht klar. Also ich weiß wie man die Eigenwerte bestimmt, und auch wie man dann die Basis von den bilden kann aber weiter als das nicht. :) Ich probiere es aber nochmal.

Ich Bedanke mich für den Tipp!

LG CM

Answer 1

Die Zahlen wachsen in astronomische Dimensionen, die Abbildung zeigt gerade mal A^20.

Siecher, dass alle Eintragungen richtig sind?

Comments

Hallo, ich habe ein Felher gemacht! Statt 6 sollte eine -6 da stehen.

Ich werde es sofort korigieren!

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Die Werte werden zwar anders, aber es wird nicht besser.

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Mit \( -6 \) kommt was vernünftiges raus, siehe unten meine Antwort.

Answer 2

Hallo,

du sollst hier die Matrix diagonalisieren:

A=S^{-1}DS

Dann ist

A^{2020}=S^{-1}D^{2020}S

Answer 3

Die Eigenwerte sind \( 1 , 0, -1 \) und die Eigenvektoren $$ S = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -\frac{5}{2} \\ 1 & 1 & \frac{1}{2} \\  0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$

Dann gilt $$  A = S D S^{-1} $$ und \( D \) enthält die Eigenwerte, also $$  D = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Daraus folgt $$ A^{2020} = S D^{2020} S^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -4 & 7 \\ -2 & 5 & -7 \\  -2 & 4 & -6 \end{pmatrix} $$