analysis Hilfe bei Aufgaben benötigt

Question

Hallo. Kann mir jemand bei diesen Aufgaben helfen?

Aufgabe 3 Wir betrachten die durch
$$ f(x)=\frac{1}{2 x^{2}+x+1} $$
definierte Funktion.
a.) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich \( D \) von \( f \) an.
b.) Berechnen Sie \( f^{\prime}(x) \) sowohl mit der Quotienten-als auch mit der Kettenregel.
c.) Geben Sie die Gleichung der Tangenten \( t(x) \) an den Graphen von \( f \) in \( (1, f(1)) \) an.
d.) Berechnen Sie die Differenz \( r(x):=f(x)-t(x) . \) Schreiben Sie \( r(x) \) als gebrochen-rationale Funktion (auf einem Bruchstrich und vollständig zusammengefasst).
e.) Bestimmen Sie den Grenzwert
$$ \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{r(x)}{(x-1)} $$

Answer 1

a.) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich D von f an.

Der Nenner hat keine reelle Nullstelle, daher isf D=ℝ.

b.) Berechnen Sie f′(x) sowohl mit der Quotientenregel

Da u'=0 ist, gilt f '(x)=-1·v'/v²=-(4x+1)/(2x²+x+1)².

mit der Kettenregel.

f(x)=(2x²+x+1)^-1

f '(x)= -1·(2x²+x+1)^-2·(4x+1).

c.) Geben Sie die Gleichung der Tangenten t(x) an den Graphen von f in (1,f(1)) an.

f(1)=1/4; f'(1)=-5/16

Tangentengleichung: -5/16=(y-1/4)/(x-1).

Answer 2

a) Schliesse die Nullstellen des Nenners aus dem Definitionsbereich aus. Warum? Weil man durch 0 nicht teilen darf. Und bei einem Bruch wird einfach der Zähler durch den Nenner geteilt.

b) Benutze https://www.ableitungsrechner.net/

c) Benutze die Tangentengleichung in der Punkt Steigungs-Form: t(x) = f'(1) * (x - 1) + f(1)

d) Bilde f(x) - t(x) und fasse das Ergebnis auf einem Bruchstrich zusammen

e) Bestimme den angegebenen Grenzwert

Tipp: Benutze Funktionsplotter, Algebra-Systeme und alles was dir hilft die Aufgabe zu bearbeiten.

[spoiler]

a) 2·x^2 + x + 1 = 0 → Keine Lösung → D = R

b) f(x) = -(4·x + 1)/(2·x^2 + x + 1)^2

c) t(x) = 0.5625 - 0.3125·x

d) r(x) = (x - 1)^2·(10·x + 7)/(16·(2·x^2 + x + 1))

e) lim (x → 1) r(x) / (x - 1) = 0

[/spoiler]